Es bien sabido que hay infinitamente muchos números libres de cuadrados de la forma$n^2+1,n\in\mathbb{Z}$.
Pregunta: ¿Hay infinitamente muchos números libres de cuadrados de la forma$n^2+1$, cada uno con todos sus factores primos$\leq n$?
Respuesta
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Sí, hay infinitamente muchos de esos $n$.
Una manera de demostrar que este es el inicio de un polinomio cuadrático $N(x)$ con coeficientes enteros tales que existe una factorización $N^2+1=AB$ en dos cuadráticas; vamos a usar $$ N(x) = 5x^2+x-1, \quad N(x)^2 + 1 = (5x^2-4x+1) (5x^2+6x+2) = A(x) B(x). $$ Ahora sustituto adecuado enteros positivos para $x$, e intente $n=N(x)$. Uno de $A,B$ es ya menor que $N$, y el otro puede ser hecho para tener a todos sus factores primos más pequeños que $N$ eligiendo $x$ en algunos congruencia de la clase; en nuestro caso $A<N$, e $B$ funciona siempre como $x$ incluso $-$ que, afortunadamente, todavía es consistente con $N^2+1$ squarefree en nuestro caso. (NB $n^2+1$ nunca podría ser divisible por $4$ sin embargo $n$ fue el elegido.) Yo reclamo que como $X \to \infty$ una fracción positiva de incluso opciones de $x<2X$ hacer $n^2+1$ squarefree. De hecho, vamos a $S_p$ el número de incluso $x < 2X$ para que $p^2 | N(x)^2 + 1$. A continuación, $S_p=0$ si $p>10X$ o $p \neq 1 \bmod 4$, y de lo contrario, $S_p < 4X/p^2 + 4$ (hay $4$ clases de congruencia para $x \bmod p^2$ que debe ser excluido). La suma de $4X/p^2$ sobre todos los $p \equiv 1 \bmod 4$ converge a $cX$ algunos $c<1$ ($c < 1/4$ si me calculada a la derecha) y la suma de $4$$p<10X$$O(X/\log X)$. Por lo tanto $\sum_p S_p = (c+o(1)) X$ grandes $X$, y llegamos a la conclusión de que el número de opciones de $x$ que hacen de $n^2+1$ squarefree es al menos $(1-c-o(1))X \to \infty$, QED.
