¿Existe una métrica en la que 1+2+3+4+... converja a -1/12?

Question

Es bien sabido que la suma $1+2+3+4+\ldots$ que tiende a infinito en el sentido regular, se le puede asignar el valor $-\frac{1}{12}$ por diferentes medios, por ejemplo, regularización zeta o diferentes métodos de suma.

Esta pregunta preguntó si había una base en la que la suma tuviera sentido, aunque no se dio una respuesta afirmativa.

Lo que me preguntaba: La noción de convergencia depende de la métrica que utilicemos. En particular, convencionalmente diríamos que la serie debe divergir ya que los términos no se acercan a $0$ . Pero, ¿existe una métrica en la que la secuencia $1, 2, 3, 4, \ldots$ tiende a $0$ tal que la serie $1+2+3+4+\ldots$ converge, y el límite sería efectivamente $-\frac{1}{12}$ ¿O algún otro valor? Creo que los números p-ádicos son un buen candidato, pero mis conocimientos en este campo son muy limitados.

Answer 1

He aquí un ejemplo (aunque es un poco tonto). Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea una biyección tal que $f(n) = \frac{1}{n}$ y $f(\frac{-1}{12}) = 0$ y definir una métrica en $\mathbb{R}$ por $d(x,y) = |f(x) - f(y)|$ . Se puede comprobar fácilmente que esto satisface todos los axiomas de una métrica. Y $d(1+2+\cdots+n, -1/12) = 1/(1+2+\cdots+n) \to 0$ por lo que para esta métrica la serie $\sum_k k$ converge a $-1/12$ .

Pero como se puede ver la métrica no tiene mucho que ver con la métrica habitual en $\mathbb{R}$ o con la suma/multiplicación habitual.

Answer 2

La suma de todos los números naturales tiene dos valores, dependiendo de si contamos desde 0 o desde 1. Sea $\sum_{n\ge1}1=\omega_-$ sea el número de todos los enteros positivos y $\sum_{n\ge0}1=\omega_+=\omega_-+1$ el número de todos los enteros no negativos. Entonces

$$\sum_{n\ge1}n=-\frac{\omega_+^2}2$$

y

$$\sum_{n\ge0}n=-\frac{\omega_-^2}2$$

Así, podemos escribir que

$$1+2+3+4+5+\cdots=-\frac{\omega_\pm^2}2$$

La parte estándar de ambas expresiones es la misma, $-1/12$ :

$$\operatorname{st}(1+2+3+4+5+\cdots)=\operatorname{st}\left(-\frac{\omega_-^2}2\right)=\operatorname{st}\left(-\frac{\omega_+^2}2\right)=-\frac{B_2}2=-\frac{-2\zeta(-1)}{2}=-\frac{1}{12}$$

La diferencia entre estos dos valores es

$$\left(-\frac{\omega_-^2}2\right)-\left(-\frac{\omega_+^2}2\right)=\omega_-+1/2=\frac{\omega_-+\omega_+}2$$

Su parte estándar es cero:

$$\operatorname{st}(\omega_-+1/2)=\operatorname{st}\left(\frac{\omega_-+\omega_+}2\right)=0$$