¿Existe un campo$k$ y una integral regular$k$ - variedad$X$ que no es afín, proyectiva, geométricamente conectada, geométricamente reducida, ni geométricamente regular?
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Esto es más de un comentario sobre Kevin respuesta, pero es demasiado largo. Creo que la exposición puede ser más claro con menos tecnicismos (incluso no me siga la segunda isomorfismo) y complicaciones. El punto es que es afín/proyectivos son fáciles de deshacerse de, así que nos centramos en los tres últimos. Si queremos hacer una cosa regular no reducido (por lo tanto no regulares) y no conectado después de que una extensión de escalares, podemos trabajar a través de un imperfecto coeficiente de campo como el de la $k=\mathbb{F}_p(t)$, y tomar el espectro asociado a una variable del polinomio que, en el campo de la extensión, se divide en relativamente factores primos (desconectado), que también se ramifican (lo que no reduce, por lo tanto nonregular). Así, por ejemplo, $\text{Spec } k[x]/(x^{2p}-t)$, debido a la extensión de a $k'=\mathbb{F}_p(t^{1/(2p)})$, obtenemos que $x^{2p}-t=(x-t^{1/(2p)})^p(x+t^{1/(2p)})^p$. Aquí $p$ es cualquier extraño prime.
Luego de hacer la parte más fácil, que es lo que no afín/proyectiva. La forma más fácil es tomar proyectivos más de espacio que en nuestra variedad (que conserva todas las propiedades que queremos), luego quite un punto. Valuative criterio de muestra no adecuada sobre la base de campo (por lo tanto no proyectiva), y la dimensión de conteo como Kevin hizo muestra que no es afín.
Kevin Dong
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Gracias a Pedro Xu de ayuda para la discusión sobre esta cuestión.
Deje $p$ ser una de las primeras, y deje $k = \mathbb{F}_p(t)$. Deje $L = \mathbb{F}_{p^2}(t^{1/p})$, que no es separable ni puramente inseparable sobre $k$. Deje $X = \mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \text{Spec}\,L$ considera como un $k$-variedad.
El esquema de $X = (\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1)_K$ es regular e integral, ya que estas propiedades son absolutos, no dependiendo de si el régimen se considera como $L$-variedad o $k$-variedad. Tenemos $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = L[z]$ donde $z$ es la coordenada en $\mathbb{A}^1$. Desde $\dim X = 2 \neq 1 = \dim \text{Spec}\,L[z]$, la variedad $X$ no es afín. Desde $\dim_k L[z] = \infty$, $X$ no es proyectiva sobre $k$.
Tenemos $L \cong \mathbb{F}_{p^2} \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathbb{F}_p(t)[u]/(u^p - t)$, por lo que$$L \otimes_k \overline{k} \cong \mathbb{F}_{p^2} \otimes_{\mathbb{F}_p} {{\overline{k}[u]}\over{(u^p - t)}} \cong {{\overline{k}[u]}\over{(u^p - t)}} \times {{\overline{k}[u]}\over{(u^p - t)}}.$$In particular, $\texto{Spec}(L \otimes_k \overline{k})$ is disconnected, and above each connected component lies a nontrivial component of $X \times_k \overline{k} \cong (\mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1)_{(L \otimes_k \overline{k})}$. Thus, $X$ is not geometrically connected. Also, $u - t^{1/p}$ is a nonzero nilpotent global section of the structure sheaf of $X \times_k \overline{k}$, so $X$ is not geometrically reduced. Finally, regular implies reduced, so geometrically regular implies geometrically reduced, so $X$ no puede ser geométricamente regulares.
