3 platos cena problema

Question

Considere la posibilidad de n personas de comedor en una mesa circular. Cada uno de ellos es el pedido de una de las tres placas. ¿Cuál es la probabilidad de que no hay dos personas sentadas una junto a otra orden de la misma placa?

Yo intuitivamente creo que cada persona, salvo el primero de ellos tiene 2 opciones como él no puede ordenar el mismo que el anterior a él. Sin embargo no puedo averiguar qué sucede con la última persona como él puede tener 1 o 2 opciones dependiendo de si la persona antes de que él había elegido la misma cena como la primera persona.

Answer 1

Usted está considerando el problema cuando la gente está sentada en una línea. Esta es una buena idea, pero no es suficiente para calcular la probabilidad de que es posible hacer un círculo a partir de esta línea. Cuando es posible? Si y sólo si la última de $n$ de la gente ha elegido el plato diferente con el anterior y el primero. Así que tenemos que calcular dos secuencias: $f_k$ es la probabilidad de que $k$ personas sentadas en la línea que ha ordenado platos diferentes para cada par de vecinos y la última ha ordenado diferentes de la placa con la primera, $g_n$ es la probabilidad de que $k$ personas sentadas en la línea que ha ordenado platos diferentes para cada par de vecinos y la última ha ordenado el mismo plato que la primera. Entonces $$f_1 = 0,\\ g_1 = 1,\\ f_k = \frac{f_{k - 1} + 2g_{k - 1}}{3} \text{ para } k > 1,\\ g_k = \frac{f_{k - 1}}{3} \text{ para } k > 1.$$ La sustitución de durar hasta la penúltima obtenemos: $$f_k = \frac{3f_{k - 1} + 2f_{k - 2}}{9} \text{ for } k > 2.$$

EDIT. Así $$f_k = \frac23\left(\left(\frac23\right)^{k - 1} - \left(-\frac13\right)^{k - 1}\right) = \frac{2^k + 2\cdot (-1)^k}{3^k}$$ es la respuesta al problema al $k \ge 2$ personas están sentadas en la mesa. Para $k = 1$ la respuesta depende de si este hombre está al lado de él, o no.