¿$|x^G|$ Divide la orden$\langle x^G\rangle$?

Question

Sea$G$ un grupo finito,$x\in G$,$x^G$ indica la clase de conjugación contenida$x$, es decir$|x^G|=n$. Mi pregunta es: ¿cuál es la relación entre$|x^G|$ y el subgrupo$\langle x^G\rangle$? Lo que es más, quiero saber si$n$ divide el orden del subgrupo$\langle x^G\rangle$?

Answer 1

Tome$G=S_3$,$x=(123)$, entonces$x^G=\{(123),(213)\}$, mientras que$\langle x^G\rangle=\{id,(123),(213)\}$. Así que la respuesta a la cuestión de la divisibilidad es no.

Answer 2

Podemos definir conjugacy como un grupo de acción en $G$. Formalmente, para cualquier $g \in G$, definimos $(g,x)=gxg^{-1}$ todos los $x \in G$. La Órbita-Estabilizador Teorema da una descripción de $|x^G|$ en términos de $|G|$ y el tamaño de la estabilizador $G_x=\{g \in G:x=gxg^{-1}\}$$x$. Específicamente, \[|x^G|=\frac{|G|}{|G_x|}.\]

A partir de esto, podemos deducir que el $|x^G|$ divide $|G|$. Por lo tanto, tenemos que $|x^G|$ $|\langle x^G \rangle|$ son ambos divisores de $|G|$.

A partir de esta observación (y el hecho de que $|x^G| \leq |\langle x^G \rangle|$), podemos determinar que si $|G|$ es una fuente primaria de energía, de $|x^G|$ divide $|\langle x^G \rangle|$.