Primera cohomología de la gavilla $H^1(\mathscr{O}_D, \mathbb{D})=0$

Question

¿Pueden darme una pista sobre este problema?

Dado un divisor finito $D=p_1+\dots +p_m -q_1 -\dots -q_n$ en el disco de la unidad $\mathbb{D}$ ¿cómo demuestro que el primer grupo de cohomología de la gavilla $H^1(\mathscr{O}_D, \mathbb{D})=0$ ?

Al principio sólo consideraba los divisores efectivos, lo que haría que $\mathscr{O}_D$ un subconjunto de las funciones holomorfas. También podemos elegir un recubrimiento $(U_i)$ de manera que cada $p$ sólo está contenido en un único conjunto abierto $U$ . Entonces podría dividir cualquier cochain $(f_{ij})$ en $g_j-g_i$ de funciones holomorfas. Entonces quiero obtener de alguna manera las funciones $g_i$ para que sea cero en los puntos necesarios, tal vez multiplicando $g_i$ por $(z-p_i)$ localmente en $U_i$ . Pero no parece que esto vaya a funcionar.

Mi motivación para hacer esto es mostrar que en cualquier superficie compacta de riemann X, una cobertura $(U_i)$ donde todos los $U_i$ son isomorfos a los discos es un recubrimiento de leray relativo a cualquier hoja de un divisor $\mathscr{O}_D$ .

Answer 1

Hagamos un ejemplo sencillo. En concreto, vamos a mostrar que $\mathcal{O}(-p)$ (para algún punto $p$ ) tiene cohomología evanescente.

Empecemos por considerar que tenemos la siguiente secuencia exacta corta

$$0\to\mathcal{O}(-p)\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}\to i_\ast\mathcal{O}_p\to 0$$

donde $i$ es la inclusión del punto $p$ en $\mathbb{D}$ (y $\mathcal{O}_p$ es la gavilla de estructura en el punto). Entonces, obtenemos la LES

$$0\to \mathcal{O}(-p)(\mathbb{D})\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}(\mathbb{D})\to \mathbb{C}\to H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}(-p))\to H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}_{\mathbb{D}})$$

Pero, nótese que usando la secuencia exponencial

$$0\to\mathbb{Z}\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}\to\mathcal{O}_{\mathbb{D}}^\times\to 0$$

tenemos la larga secuencia exacta

$$0\to \mathbb{Z}\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}(\mathbb{D})\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}(\mathbb{D})^\times\to H^1(\mathbb{D},\underline{\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}_{\mathbb{D}})\to H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}_{\mathbb{D}}^\times)\to H^2(\mathbb{D},\underline{\mathbb{Z}})$$

Pero, como $\mathbb{D}$ se puede contraer

$$H^1(\mathbb{D},\underline{\mathbb{Z}})=H^2(\mathbb{D},\underline{\mathbb{Z}})=0$$

y así

$$H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}_{\mathbb{D}})=H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}_{\mathbb{D}}^\times)=\mathrm{Pic}(\mathbb{D})$$

Pero, $\mathrm{Pic}(\mathbb{D})=\mathrm{Cl}(\mathbb{D})=0$ . La última igualdad se desprende del teorema de Mittag-Leffler.

Así, a partir de este cálculo lateral vemos que tenemos la secuencia exacta

$$0\to\mathcal{O}(-p)(\mathbb{D})\to\mathcal{O}_\mathbb{D}(\mathbb{D})\to\mathbb{C}\to H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}(-p))\to 0$$

y así demostrar que $H^1(\mathbb{D},\mathcal{O}(-p))=0$ equivale a demostrar que

$$0\to \mathcal{O}(-p)(\mathbb{D})\to \mathcal{O}_{\mathbb{D}}(\mathbb{D})\to \mathbb{C}\to 0$$

es exacta.

¿Ves cómo se hace esto? ¿Ves cómo se puede generalizar esto?