Movimiento de un cilindro lleno de agua

Question

No hace mucho tiempo yo estaba muy aburrido en una cena y comencé a jugar con una botella de agua que no estaba vacía: he estado muy interesados en su comportamiento cuando se puso a su lado y empujó: la botella de curso comienza a rodar, pero su movimiento parece bastante compleja. He estado tratando de obtener la ecuación que rige este tipo de sistema (una solución analítica sería bueno también, pero no tengo idea de si se puede encontrar o no), pero yo realmente no se puede iniciar.

Aquí es el modelo que yo uso. Yo podría haber olvidado incluir algunas cosas, o tal vez algunas de las hipótesis están mal, así que siéntase libre de modificar, si crees que se puede mejorar. El siguiente (horrible) figura representa la situación inicial. La única fuerza externa en cuenta es la gravedad $\vec{g}$ y es uniforme.

Modelización de la botella: Considero que la botella como un infinito cilindro rígido de radio $r$, por lo que el problema puede ser considerado de dos dimensiones (efectos secundarios son abandonados). La distribución de la masa de este cilindro / círculo es uniforme. Cuando no descansa, está rodando sin resbalar en la rígida suelo horizontal: el punto de contacto entre el cilindro y el suelo, $A$, tiene siempre una velocidad cero: $\vec{v_A} = \vec{0}$.

Modelización del agua: En el interior del cilindro hay un agua (representado en azul en la imagen) y el aire. Hago no creo que el aire que realmente importa, tan sólo el comportamiento del agua es para ser estudiado.

La masa de agua es constante (la botella no es una fuga). Podemos suponer que $r$ es más que un par de milímetros, por lo que los efectos capilares puede ser descuidado (como consecuencia, la superficie libre es inicialmente horizontal). El agua puede ser considerada como un fluido incompresible, pero creo que, lamentablemente, la viscosidad debe ser tomada en cuenta.

El movimiento: Ahora digamos que empujar el cilindro (o, equivalentemente, nos dice su aceleración) a lo largo de la $x$ eje $t=0$. Lo que sucede ? Me gustaría obtener la ecuación diferencial verificado por $x_O(t)$ (la posición del centro del cilindro).

Veo dos grandes problemas: en primer lugar, el centro de gravedad de este sistema es siempre cambiante, y, en segundo lugar, parece difícil encontrar la fuerza del agua que actúa sobre el cilindro. Yo realmente no sé cómo empezar. Cómo habría que estudiar esto ?

Answer 1

Gran problema! Sencillo de estado, increíblemente complejos de resolver.

Tengo tres sugerencias:

• No estoy seguro de que es una buena idea considerar un cilindro infinito. Tendrá una masa infinita de un sólo podría sentarse allí.

• Su pregunta no está formulada de manera muy precisa. Para estudiar el tiempo de evolución de un sistema dinámico que necesitas para que puedas especificar las condiciones iniciales. En su caso, usted debe especificar la velocidad (y posición) de los cilindros, así como el estado del agua. La segunda especificación puede ser bastante complicado. Es necesario especificar el campo de velocidad del agua, así como la forma de su interfaz con el aire. Por otra parte, usted necesita para asegurarse de que el campo de velocidad es incompresible $\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{v}=0$, y que la física de las condiciones de contorno se aplican en el borde interior del cilindro. Si usted tiene un no-desaparición de la viscosidad, el campo de velocidad debe coincidir con la velocidad del cilindro cuando el agua toca. En conclusión, se hace realmente complicado.

• Podría ser más sencillo de colocar el cilindro en un plano inclinado. Luego de su cilindro de velocidades en un primer momento, sino que alcanza una velocidad constante una vez que la viscosidad del agua es capaz de disipar la energía potencial gravitacional, como se convierte en energía cinética. A continuación, puede ver de un estado estable sin tener que preocuparse de las condiciones iniciales. Supongo que dependiendo de la inclinación del plano, habrá diferentes regímenes. Para pequeñas inclinaciones de la velocidad del cilindro podría saturar y usted podría encontrar un estado de equilibrio con el agua de la superficie es suave. Entonces, si el avión es más pronunciada que puede (???) encontrar otro estado estacionario con turbulencias en el agua en el cilindro. Finalmente, para una muy empinada plano, no se encuentran en estado estacionario. El agua sólo se adhieren a la pared del cilindro y rodar con él, ya que se acelera hacia abajo.

Me gustaría empezar con la tercera cuasi-estacionaria régimen (la aceleración de cilindro con agua girando con ella). Parece que es la más sencilla. Usted puede tratar de encontrar el mínimo de la velocidad por encima de la cual se realiza.