Elementos de matriz S en el camino Formalismo integral

Question

Tengo una pregunta relativa a la conexión entre la S-elementos de la Matriz y la ruta integral de formalismo. Con el fin de formular la pregunta, voy a trabajar con un campo escalar de la teoría de la simplicidad.

Supongamos que se nos da una acción $S[\phi]$. En la ruta integral de formalismo, ahora podemos definir la generación funcional $$\begin{equation} Z[J] \propto \int \mathcal{D}\phi ~ e^{i S[\phi] + \int d^4x~ \phi(x) J(x)} \end{equation}$$ y calcular arbitraria de vacío expectativa de valores $$\begin{equation} \left<0| \phi(x_1) \ldots \phi(x_n) | 0 \right> \end{equation}$$ el uso funcional de los derivados con respecto a la fuente $J$. También sé cómo calcular el vacío expectativa de valores en el "cuantización canónica formalismo" (Mecha del teorema etc.). Hasta ahora tan bueno.

Generalmente, no estamos interesados en vevs sino en S-elementos de la matriz como $\left<p_1, \ldots, p_n|q_1, \ldots, q_m \right>$ donde $p_i$ $q_j$ son saliente y entrante de la partícula momenta. Y la transición entre el $S$-elementos de la matriz y vevs también es claro para mí: este es dado por el LSZ fórmula de reducción. Así que, en principio, estamos ahora bien: podemos calcular todo en la ruta integral de formalismo y, finalmente, relacionar este real de los elementos de la matriz de uso de la LSZ fórmula.

Ahora viene mi pregunta:

1. Parece que hay una más directa relación entre la S-elementos de la matriz y la ruta integral de formalismo. De hecho, en el Wikischolar artículo sobre la Slavnov-Taylor identidades (escrito por el Dr. Slavnov a sí mismo) se afirma que el $S$ matriz puede ser escrito como $S = Z[0]$. ¿De dónde proviene y cómo se ha de interpretar? Estoy confundido porque pensé que $S$ fue más bien una matriz cuyas entradas, es decir, de elementos de la matriz son números) y $Z[0]$ es sólo un número (un evaluados integral). Así que para mí, este se lee como "matrix = número"... por otra parte, si esta ecuación es cierto, ¿cómo podemos obtener el $S$ elementos de la matriz a partir de ahí?

2. Aún más confusión, no parece haber otra relación a la $S$-elemento de la matriz. He encontrado esto en Weinberg Vol. II, capítulo 15.7 alrededor de la ecuación (15.7.27). De ahí, tenemos una acción que es de la forma $I + \delta I$ (el contexto es aquí que $I$ es el calibre fijo acción de un no-Abelian teoría de gauge y $\delta I$ es el cambio debido a que una pequeña variación en el indicador de fijación de condición, pero esto en realidad no importa aquí). Se dice entonces: es fundamental física requisito de que los elementos de la matriz entre estados físicos debe ser independiente de la elección del calibre de la fijación de condiciones, o en otras palabras, de $\delta I$. El cambio en cualquier elemento de la matriz $\langle\alpha|\beta\rangle$ debido a un cambio de $\delta I$ $I$ es $$\begin{equation} \delta \langle\alpha|\beta\rangle ~\propto ~\langle\alpha|\delta I|\beta\rangle. \end{equation}$$ Así que ahora, no parece haber una relación entre la acción y el $S$-elementos de la matriz. ¿Cómo encaja esto en la totalidad de la imagen?

Mi QFT examen que viene, así que muchas gracias por sus respuestas!

Answer 1

IMHO, en el artículo de Slavnov, la fórmula integral de la ruta de acción$(3)$ para$S$ debe entenderse con restricciones sobre estados inicial y final. Así que, de hecho, es una matriz$S_{ij}$.

Sin embargo, este no es el caso para la fórmula$(4)$ para$Z[J]$. Es un camino integral sin restricciones.

Para su segunda pregunta, sólo tenga en cuenta que$e^{i (S+\delta S)} \approx e^{i S}(1+i\delta S)$, por lo que, con las diferentes definiciones de los elementos de la matriz y las funciones de Green, obtendrá su resultado.

Answer 2

Para su pregunta 1: tenga en cuenta que la integral en$Z[J]$ se realiza sobre las rutas que conectan el estado inicial$q_i$ al estado final$q_f$, es decir,$Z[J]$ depende en realidad $q_i$ Y$q_f$. Por lo tanto, puede verlo como un elemento de matriz de$\hat{S}$, es decir,$S_{ij}$.