Transformada inversa de laplace usando la integral compleja

Question

dada la función $$f(s)=\frac{1}{s}\frac{\sqrt{s}-1}{\sqrt{s}+1}$$ y $$\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-xt}}{\sqrt{x}(x+1)}dx=\pi e^t {erfc}(\sqrt{t})}$$

mis pasos:

contorno:$A->B->C->D->E->F->A$ anti-horario

$AB$ recta vertical de abajo hacia arriba $AB$

$BC$ arco con un radio de $R$

$CD$ recta horizontal de $-R$ $-\epsilon$

$DE$ arco con un radio de $-\epsilon$

$EF$ recta horizontal de $-\epsilon$ $-R$

$FA$ arco con un radio de $R$

1. $\int_{BC}=\int_{FA}=0$

2.$CD$:

$s(x)=xe^{\pi i}$ donde $x \in[R -> \epsilon]$ $s'(x)=e^{\pi i}=-1$ $\sqrt{s}=i\sqrt{x}$

así $$\int_{CD}=\int_{R}^{\epsilon}{\frac{e^{tx{e^{\pi i}}}}{xe^{\pi i}}{\frac{i\sqrt{x}-1}{i\sqrt{x}+1}}{e^{\pi i}}}dx=-\int_{\epsilon}^{R}{\frac{e^{-xt}}{x}{\frac{i\sqrt{x}-1}{i\sqrt{x}+1}}}dx$$

3.$EF$

$s(x)=xe^{-\pi i}$ donde $x \in[\epsilon -> R]$ $s'(x)=e^{-\pi i}=-1$ $\sqrt{s}=-i\sqrt{x}$

así $$\int_{EF}=\int_{\epsilon}^{R}{\frac{e^{tx{e^{-\pi i}}}}{xe^{-\pi i}}{\frac{-i\sqrt{x}-1}{-i\sqrt{x}+1}}{e^{-\pi i}}}dx=-\int_{\epsilon}^{R}{\frac{e^{-xt}}{x}{\frac{i\sqrt{x}+1}{i\sqrt{x}-1}}}dx$$

4.$DE$

$s(\theta)=\epsilon e^{i \theta}$ donde $\theta\in[\pi -> -\pi]$ $s'(\theta)=i\epsilon e^{i \theta}$

así

$$\int_{\pi}^{-\pi}{\frac{e^{t\epsilon e^{i\theta}}}{\epsilon e^{i\theta}}\frac{\sqrt{\epsilon}{ e^{\frac{i\theta}{2}}-1}}{{\sqrt{\epsilon} e^{\frac{i\theta}{2}}+1}}}{i\epsilon e^{i\theta}}d{\theta}=-i\int_{-\pi}^{\pi}{{e^{t\epsilon e^{i \theta}}}{\frac{{\sqrt{\epsilon}}{e^{i \frac{\theta}{2}}} -1}{{\sqrt{\epsilon}}{e^{i \frac{\theta}{2}}} +1}}}d{\theta}$$

sobre todo

$\int_{AB}=-\lim_{R->\infty,\epsilon->0}{[\int_{CD}+\int_{ED}+\int_{EF}]}$

$$\int_{AB}=-\lim_{R->\infty,\epsilon->0}{[-\int_{\epsilon}^{R}{\frac{e^{-xt}}{x}{(\frac{i\sqrt{x}-1}{i\sqrt{x}+1} + \frac{i\sqrt{x}+1}{i\sqrt{x}-1})}}dx - -i\int_{-\pi}^{\pi}{{e^{t\epsilon e^{i \theta}}}{\frac{{\sqrt{\epsilon}}{e^{i \frac{\theta}{2}}} -1}{{\sqrt{\epsilon}}{e^{i \frac{\theta}{2}}} +1}}}d{\theta}}]$$

$$\int_{AB}=\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-xt}}{x}{\frac{2(x-1)}{x+1}}}dx + i\int_{-\pi}^{\pi}{(-1)d{\theta}}$$

$$=2\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-xt}}{x}{({\frac{x}{x+1}}-{\frac{1}{x+1}})}}dx - 2 \pi i$$

$$=2\int_{0}^{\infty}{{({\frac{e^{-xt}}{x+1}}-{\frac{e^{-xt}}{x(x+1)}})}}dx - 2 \pi i$$

$$=2\int_{0}^{\infty}{{{{\sqrt{x}}\frac{e^{-xt}}{\sqrt{x}(x+1)}}-{\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{e^{-xt}}{\sqrt{x}(x+1)}}}}dx - 2 \pi i$$

hasta aquí... entonces .. no puedo hacer más..

necesita ayuda...

Answer 1

Para responder a su pregunta, lo más importante que está dejando de lado es el teorema de Cauchy. Está definiendo el contorno para que no encierre polos del LT y sea de valor único a lo largo de sí mismo. Así, la suma de las contribuciones a lo largo de los contornos es cero. Usted debe terminar con algo así como

ps

(Creo que perdió una señal en algún lugar.)

Verifiqué el resultado por transformación de Laplace de nuevo.