Mostrando que$x^3+2y^3+4z^3=2xyz$ no tiene soluciones enteras excepto$(0,0,0)$.

Question

Vamos$x,y,z\in \mathbb{Z}$ satisfacer la ecuación: $$ x ^ 3 2y ^ 3 4z ^ 3 = 2xyz $$ ¿Cómo puedo probar que la única solución es$x=y=z=0$?

Answer 1

Si la siguiente ecuación tiene un no-trivial solución $$x^3 + 2y^3 + 4z^3 = 2xyz\tag{*1}$$ debe ser una de cuyas $x^2 + y^2 + z^2$ es mínima. Deje $(x_1,y_1,z_1)$ ser un mínimo no trivial de la solución. Tenemos

$$x_1^3 + 2y_1^3 + 4z_1^3 = 2x_1y_1z_1 \implies x_1^3 \equiv 0 \pmod 2 \implies 2|x_1$$

Deje $(x_2,y_2,z_2) = (y_1,z_1,\frac{x_1}{2})$, tenemos

$$8z_2^3 + 2x_2^3 + 4y_2^3 = 4z_2x_2y_2\quad\ffi\quad x_2^3 + 2y_2^3 + 4z_2^3 = 2x_2y_2z_2$$ Esto significa $(x_2,y_2,z_2)$ es de nuevo una solución para $(*1)$. Desde $(x_1,y_1,z_1)$ es mínima, tenemos

$$x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 \le x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 \implies x_1^2 \le z_2^2 = \frac14 x_1^2 \implies x_1 = 0$$

Esto conduce a $2y_1^3 + 4z_1^3 = 0$. Desde $(x_1,y_1,z_1)$ se supone que para ser no trivial, $z_1 \ne 0$ y esto implica $\sqrt[3]{2} = \left|\frac{y_1}{z_1}\right|$ es un número racional! Esto es absurdo y, por tanto, la hipótesis original de la existencia de la no-trivial solución para $(*1)$ es simplemente equivocado!

Answer 2

Tenemos$x^3 +2y^3+4z^3=2xyz$ así x es par y$8x_1^3+2y^3+4z^3=4x_1yz$ $\implies$ $4x_1^3+y^3+2z^3=2x_1yz$Igual y$4x_1^3+8y_1^3+2z^3=4x_1y_1z$$\implies$$2x_1^3+4y_1^3+z^3=2x_1y_1z$.

Por consiguiente, el procedimiento puede repetirse indefinidamente y, por descenso infinito (Fermat), no hay solución distinta de (0,0,0). Obviamente, no importa si consideramos enteros negativos.