Suma que implican coeficiente binomial satisface la congruencia (Un concurso de que se trate)

Question

Deje $p$ ser un extraño prime, y denotan $$f(x)=\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^2x^k.$$ Demostrar que para cada $x\in \mathbf Z$,$$(-1)^\frac{p-1}2f(x)\equiv f\left(\frac{1}{16}-x\right)\pmod{p^2}.$$ Este es un concurso que pregunta, no sé cómo demostrarlo. Gracias.

Además: me parece que es equivalente a probar que: $$\sum _{k=r}^{p-1} \frac{(-1)^r \binom{2 k}{k}^2 \binom{k}{r}}{16^{k-r}}\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} \binom{2 r}{r}^2 \pmod {p^2}\tag1$$ para $r=0,1,2,\cdots p-1.$

Y $(1)$ es equivalente a $$\sum _{k=r}^{p-1} \binom{2 k}{k}^2 \binom{k}{r}16^{-k} \equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}} (-16)^{-r}\binom{2 r}{r}^2 \pmod {p^2}.$$

Answer 1

Aquí, creo, es una idea en la dirección correcta. Considerar el poder formal de expansión de la serie

$$F(x) := \frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{k=0}^\infty {2k \choose k} x^k.$$

Vista de esta identidad en la $\mathcal O[[x]]$, el anillo de poder formal de la serie con coeficientes en el anillo de enteros $\mathcal O$$\overline{\mathbf Q_p}$. Deje $i \in \mathcal O$ denotar una raíz cuadrada de $-1$. Multiplicar tanto el numerador y el denominador de $$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$$ by $i$, tenemos

$$F(x) = \frac{i}{\sqrt{4x-1}} = \frac{i}{\sqrt{1-4(\frac12-x)}} = iF(\frac12-x)$$

La reducción de modulo el ideal maximal de a $\mathcal O$, y usando el hecho de que la central de los coeficientes binomiales son finalmente divisible por $p$, nos encontramos con que $$-\overline i g(x) =g\left(\frac12 - x\right) \text{ in }\overline{\mathbf F_p}$$

donde $$g(x) = \sum_{k=0}^{2p-1}{2k \choose k} x^k.$$

Esto no es lo que se pregunta, pero es bastante similar en apariencia a me llevan a creer que esto no es una coincidencia!