A la izquierda coset $gN$ de un (normal) subgrupo $N$ de un grupo de $G$ es un conjunto de elementos de $G$, es decir, el conjunto
$$gN = \{ gx \mid x\in N\},$$
consta de todos los productos de la forma $gx$ $x$ varia $N$. Este es un subconjunto del grupo de $G$. A veces, diferentes opciones para el elemento $g$ el rendimiento de la misma coset; es decir, $g_{1}N = g_{2}N$, mientras que $g_1\neq g_2$. Por supuesto, también puede darse el caso de que $g_{1}N \neq g_{2}N$, dependiendo de las opciones de $g_1$$g_2$. Por lo tanto, usted colectivamente tomar todas las distintas cosets $gN$, para todas las opciones posibles de $g\in G$, se obtiene una colección de estos subconjuntos de a $G$. Este conjunto se llama $G/N$. En otras palabras,
$$G/N = \{ gN \mid g\in G\}.$$
Resulta que el conjunto de los distintos cosets forma una partición de $G$. Y, la prueba de Lagrange del Teorema nos dice que el cosets todos tienen el mismo tamaño, igual que el tamaño de $N$ sí. El número de estos cosets es el índice de $[G:N]$. Hasta ahora, nada de esto requiere que el $N$ ser normal en $G$. Para activar esta colección de subconjuntos de a $G$ dentro de un grupo, es necesario definir una operación en cualquier par de ellos. Así, supongamos que usted tiene dos cosets $aN$$bN$$N$. Tenemos que venir para arriba con otro coset que vamos a llamar el producto de $aN$$bN$. Es bastante natural que acaba de definir el producto de $aN$ $bN$ a ser el coset $(ab)N$ (o $abN$ - los paréntesis no son necesarios). Este es el coset de $N$ correspondiente al elemento $ab$$G$. Ahora el punto de la toma de $N$ a ser normal, es para asegurarse de que esta definición es, de hecho, una válida, debido a los distintos factores de $aN$ $bN$ puede ser representado de diferentes maneras. Esto es, puede ser distinta a $a_1$ $a_2$ $G$ tal que $a_1N = a_2N$. Del mismo modo, podemos tener a $b_1N = b_2N$, para los distintos $b_1, b_2\in G$. El hecho de que $N$ es normal, es lo que permite a la conclusión de que todo está bien. (Ver Anexo a continuación.) El elemento de identidad del grupo $G/N$ se define de este modo es sólo el coset $N = 1N$ sí, porque $1N gN = (1g)N = gN$, para cualquier $gN\in G/N$. El resultado es un conjunto cuyos elementos son ciertos tipos de subconjuntos (es decir, los cosets de $N$)$G$.
Ahora, lo realmente interesante de todo esto es que la normal subgrupos darle precisamente los núcleos de homomorphisms de $G$ a otros grupos. Debido a la forma en que el producto se define en $G/N$, la asignación de $\pi$ $G$ $G/N$que envía cada $g\in G$ a la correspondiente coset $gN\in G/N$ es un homomorphism: $\pi(ab) = abN = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b)$, para cualquier $a,b\in G$. Además, el núcleo de esta $\pi$ es el conjunto de elementos de la $g$ $G$ tal que $\pi(g)$ es la identidad de $G/N$. Eso significa que $\pi(g) = N$, que por la definición de $\pi$ significa que $gN = N$. Esto es equivalente a $g\in N$, lo $N$ es el núcleo de $\pi$.
Por el contrario, supongamos que $\psi$ es algunos homomorphism de $G$ a otro grupo de $H$, y deje $N$ ser su núcleo. Si $g$ es cualquier elemento de $G$, entonces, para cualquier $x\in N$,$$\psi(g^{-1}xg) = (\psi g)^{-1}(\psi x)(\psi g) = \psi(g)^{-1}\cdot 1_{H}\cdot\psi(g) = 1_{H},$$
debido a $x\in N=\operatorname{ker}(\psi)$ significa que $\psi(x) = 1_H$. Por lo tanto, $g^{-1}xg\in N$ y, desde $x$ fue arbitraria, se deduce que el $g^{-1}Ng\subseteq N$. El reverso de la inclusión es similar, lo que en realidad $N = g^{-1}Ng$, para cualquier $g\in G$.
Anexo
Queremos definir el producto $aN\cdot bN = abN$ de dos cosets $aN$$bN$$G/N$. Para que esto tenga sentido, necesitamos $N$ a ser normal. Es decir, tenemos que asegurarnos de que, si $a_1, a_2, b_1, b_2\in G$$a_1N = a_2N$$b_1N = b_2N$,$a_1b_1N = a_2b_2N$. (Se dice que la operación es "bien definida", en este caso, porque no importa a que grupo es el elemento que nos eligió para formar el coset, siempre que los rendimientos de la misma coset.)
Para mostrar esto, recuerda que dos cosets $xN$ $yN$ son iguales, $xN = yN$ si, y sólo si, $x^{-1}y\in N$ (incluso si $N$ no es normal). Ahora vamos a aplicar esto. Desde $a_1N = a_2N$,$a_{1}^{-1}a_{2}\in N$. Esto significa que $a_2 = a_{1}u$, para algunas de las $u\in N$. Y, desde $b_1N = b_2N$,$b_{1}^{-1}b_{2}\in N$. Esto significa que $b_2 = b_{1}v$, para algunas de las $v\in N$. Para mostrar que $a_1b_1N = a_2b_2N$, por lo tanto, debemos mostrar que $(a_1b_1)^{-1}(a_2b_2)\in N$. Vamos a calcular:
$$(a_1b_1)^{-1}(a_2b_2)
= b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_2b_2
= b_{1}^{-1}a_{1}^{-1}a_{1}ub_{1}v
= b_{1}^{-1}ub_{1}v.$$
Ahora vamos a utilizar el hecho de que $N$ es normal a la conclusión de que la $b_{1}^{-1}ub_{1}\in N$, ya que el $u\in N$. Desde entonces, también, $v\in N$, su producto $(b_{1}^{-1}ub_{1})v$, que es la última expresión en el cálculo anterior, debe pertenecer a $N$, como se desee.
