Esta función es continua, se deduce por la prueba de M-Weierstrass. Pero demostrar la no diferenciabilidad, creo que es muy difícil. ¿Alguien sabe cómo puedo demostrar esto? ¿O al menos tiene un documento con la prueba? La función es $$ f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin((k + 1)!\;x )}{k!}$$ Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
sewo
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(Editado: se ha sustituido la palabrería por el rigor)
Para ser más concisos, definiremos las funciones de ayuda $\gamma_k(x)=\sin((k+1)!x)$ . Entonces $f(x)=\sum_k \frac{\gamma_k(x)}{k!}$ .
Fijar un $x\in\mathbb R$ . Construiremos una secuencia $(x_n)_n$ tal que $$\lim_{n\to\infty} x_n = x \quad\land\quad \lim_{n\to\infty} \left|\frac{f(x_n)-f(x)}{x_n-x}\right| = \infty$$ Tal secuencia implicará directamente que $f$ no es diferenciable en $x$ .
Dejemos que $x'_n$ sea el mayor número menor que $x$ tal que $|\gamma_n(x'_n)-\gamma_n(x)|=1$ . Sea $x''_n$ sea el menor número mayor que $x$ tal que $\gamma_n(x''_n)=\gamma_n(x'_n)$ . Uno de ellos, que se determinará más adelante, se convertirá en nuestro $x_n$ .
No importa cuál de estas dos opciones de $x_n$ tenemos $|x_n-x|<\frac{2\pi}{(n+1)!}$ así que $\lim x_n=x$ .
Para estimar el cociente de la diferencia, escriba $$f(x) = \underbrace{\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\gamma_k(x)}{k!}}_{p(x)}+ \underbrace{\frac{\gamma_n(x)}{n!}}_{q(x)}+ \underbrace{\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{\gamma_k(x)}{k!}}_{r(x)}$$ y así, $$\underbrace{f(x_n)-f(x)}_{\Delta f} = \underbrace{p(x_n)-p(x)}_{\Delta p} + \underbrace{q(x_n)-q(x)}_{\Delta q} + \underbrace{r(x_n)-r(x)}_{\Delta r}$$ De ellos, por construcción de $x_n$ tenemos $|\Delta q| = \frac{1}{n!}$ .
También, $r(x)$ está globalmente limitada por el término restante de la serie $\sum 1/n! = e$ que por el teorema de Taylor es como máximo $\frac{e}{(n+1)!}$ . Así que $|\Delta r| \le \frac{2e}{(n+1)!}$ .
$\Delta p$ no se trata con tanta facilidad. En algunos casos puede ser numéricamente mayor que $\Delta q$ arruinando una simple estimación basada en la igualdad de triángulos. Pero se puede domar con un análisis de casos:
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Si $p$ es estrictamente monótona en $[x'_n, x''_n]$ entonces $p(x'_n)-p(x)$ y $p(x''_n)-p(x)$ tendrán signos opuestos. Como $q(x'_n)=q(x''_n)$ podemos elegir $x_n$ tal que $\Delta p$ y $\Delta q$ tiene el mismo signo. Por lo tanto, $|\Delta p+\Delta q|\ge|\Delta q|=\frac{1}{n!}$ .
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Por lo demás, $p$ tiene un extremo entre $x'_n$ y $x''_n$ ; seleccionar $x_n$ tal que el extremo se encuentra entre $x$ y $x_n$ . Porque $p$ es una suma finita de $C^\infty$ podemos acotar su segundo derivado por separado para cada uno de sus términos: $$\forall t: |p''(t)| \le \sum_{k=1}^{n-1}\left|\frac{\gamma''_k(t)}{k!}\right| \le \sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k+1)!^2}{k!} \le \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)!(k+1) \le 2n!n $$ Por lo tanto, la variación máxima de $p$ en un intervalo de longitud $\le\frac{2\pi}{(n+1)!}$ que contiene un punto estacionario debe ser $\left(\frac{2\pi}{(n+1)!}\right)^2 2n!n = \frac{8\pi^2n}{(n+1)^2}\frac{1}{n!}$ . El $\frac{8\pi^2n}{(n+1)^2}$ es inferior a $1/2$ para $n>16\pi^2$ Así que para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos $|\Delta p+\Delta q|\ge \frac{1}{2n!}$ .
Así, para los grandes $n$ siempre tenemos $$|\Delta f| \ge \frac{1}{2n!} - \frac{2e}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}\left(\frac{1}{2}-\frac{2e}{n+1}\right)$$ y por lo tanto $$\left|\frac{f(x_n)-f(x)}{x_n-x}\right| \ge \frac{(n+1)!}{2\pi}|\Delta f| \ge \frac{n+1}{2\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{2e}{n+1}\right) = \frac{n+1}{4\pi}-\frac{e}{\pi} \to \infty$$ como se prometió.
