¿Orientación implica separación del espacio?

Question

Si una hipersuperficie en un colector separa el espacio ambiente en dos desconectado piezas, es la superficie necesariamente orientable? Esto parece ser cierto cuando se considera el Jordán teorema de Brouwer lo que implica la esfera de $S^n$ incrustado en $\mathbb{R}^n$ separa el espacio en dos desconectado componentes. Pero ¿el requisito de orientability extender a hypersurfaces en cualquier colector? Un contra-ejemplo mostraría un no-orientable hipersuperficie que separa el espacio ambiente en dos desconectado regiones.

(edición: declaración sobre Jordania teorema de Brouwer refinados por George Lowther del comentario)

Answer 1

Una superficie no orientable puede ciertamente separar un colector no orientable. Aquí hay un ejemplo. Observe que la botella de Klein$K$ es el límite de un$3$ - colector$M$, que se obtiene identificando los dos extremos de un cilindro sólido en una orientación inversa. Ahora considere el$3$ - manifold$(K\times [0,1])\cup M_0\cup M_1$ donde$M_i$ es homeomorfo a$M$, y$\partial M_i$ se identifica con$K\times\{i\}$. Este es un$3$ - colector no orientable. La rebanada media$K\times\{1/2\}\subset K\times [0,1]$ separa el colector en dos piezas.