Pregunta: Demostrar que $2^{3n} + 2^n + 1$ no puede ser un cuadrado perfecto para cualquier natural $n$.
He tratado esta cuestión y no en dos formas diferentes.
1) que yo consideraba un polinomio $p(x) = x^3+ x + 1 - m^2$ (para algunos naturales $m$) y factorizados el polinomio asumiendo $2^n$ es una raíz. Yo, entonces, trató de sustituir algunos números para obtener una contradicción en la divisibilidad (desde $x - 2^n$ es un factor). Por desgracia, todo eso fue en vano.
2) escribí $2^{3n} + 2^n + 1 = m^2$ e lo $(m-1)(m+1) = 2^n(2^{2n} + 1)$. Así, se puede concluir que si $xy = 2^{2n} + 1$ tal que $(x,y) = 1$, entonces uno de los $m-1$ o $m+1$ debe $2^{n-1}x$ y el otro debe ser $2y$ (esto se deduce del hecho de que $m$ es impar y $(m-1,m+1) = 2$). Estoy atascado en este punto.
Agradecería una pista en cualquier dirección. Tengo la esperanza de que 1) va a funcionar. Va a enseñar a mí una nueva corrección (err... probando) técnica.
Gracias!
