Resolver$2^n=k^2+k+2$ para enteros positivos

Question

Este problema vino de mi propia investigación (investigación para la diversión, no profesional). Pude simplificar un poco y resolver algunos casos especiales, pero necesito una ayuda para obtener el caso general que es

"Encuentra todos los pares$(n,k)$ de enteros positivos tales que$2^n=k^2+k+2$."

Gracias.

PS: Será suficiente considerar$n$ odd.

Answer 1

Bueno, podemos usar la fórmula cuadrática:

ps

Así que sería todos los pares$$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(2-2^n)}}{2}$ tal que$(n, k)$ es un cuadrado impar.

Answer 2

Siempre hay una solución para$$ 2^n = u^2 + u v + 2 v^2, $$ mostly because there is always a (primitive, that is $ \ gcd (a, b) = 1$) solution to $$ 2^n = a^2 + 7 b^2. $V$ once $ 1. $

Edit, abril de 2014: como se ha señalado en el comentario de 2013 por barto, las soluciones son finitas y conocidas , véase Ramanujan-Nagell

Answer 3

Informes de los resultados de mis investigaciones. Vamos a trabajar en el anillo de $O=\mathbb{Z}[(-1+\sqrt{-7})/2]$ de el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$. Este campo es de interés aquí, porque $$ k^2+k+2=(k-u_1)(k-u_2), $$ donde$u_1=(-1+\sqrt{-7})/2$$u_2=(-1-\sqrt{-7})/2$.

El primer $2$ se divide en $O$ en un producto de dos principale ideales, uno generado por $u_1$ el otro $u_2$. Las únicas unidades en este anillo se $\pm1$. Como $u_1u_2=2$ la ecuación puede ser escrita como $$ u_1^nu_2^n=(k-u_1)(k-u_2). $$ Debido a $(k-u_1)-(k-u_2)=\sqrt{-7}$ de los ideales generados por $(k-u_1)$ $(k-u_2)$ son coprime (sólo tienen factores primos que yace por debajo de $2$). Por lo tanto, podemos concluir que $$ k-u_1=\pm u_1^n $$ o $$ k-u_2=\pm u_1^n. $$ Es muy difícil para cualquiera de estas ecuaciones para producir un racional entero $k$ como la respuesta. Para que eso suceda cualquiera de las $u_1^n\pm u_1$ o $u_1^n\pm u_2$ ha para ser real. En otras palabras, la parte imaginaria de $u_1^n$ se $\pm\sqrt7/2.$

Tenemos, en efecto, $$ \begin{aligned} u_1^2&=\frac{-3-i\sqrt7}2\\ u_1^3&=\frac{5-i\sqrt7}2\\ u_1^5&=\frac{-11-i\sqrt7}2\\ u_1^{13}&=\frac{181-i\sqrt7}2 \end{aligned} $$ la contabilidad de las soluciones encontradas por OP.

Se necesita más que un poco de suerte para conseguir una de esas pequeñas piezas imaginarias en el poder $u_1^n$. Como $|u_1|=\sqrt2$ tenemos $|u_1^n|=2^{n/2}$. Por lo tanto, para el éxito el argumento de $n\phi$ tiene que estar muy cerca de un múltiplo entero de $\pi$. Aquí $\phi=\arg u_1=\pi-\arctan\sqrt7$, y vemos que $13\phi/\pi\approx 7.99535$. He comprobado las partes fraccionarias (redondeado al entero más cercano) de $n\phi/\pi$$n=2000$. Las distancias menores ocurren pero para valores grandes de a $n$ que el imaginario partes son todavía enormes.