Medida de probabilidad en un subconjunto de números naturales ...

Question

Cómo se podría definir una medida de probabilidad en todos los subconjuntos de números naturales, que es finito-aditivo y tal que las variables $ \ chi_p (n) = \ left \ {\begin{matrix} 1 & p|n \\ 0 & \text{esle} \end {matrix} \ right. $ Son independientes.

Cualquier ayuda que usted pueda dar será apreciada grandemente.

Answer 1

Zeta distribuciones de proporcionar una familia de ejemplos, donde

$$P(X=n):=\frac{1}{\zeta(s)n^s}$$

para cualquier parámetro de $s>1$ (e $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función).

Qiaochu del blog se analiza la información relacionada con este tema, incluyendo la medida de haar en profinite enteros y condiciones (monotonía, la entropía etc) que restringen qué tipo de distribuciones puede existir con la propiedad de que $p\mid X$ son todos mutuamente independientes, en particular cuando los zeta distribuciones son el único en su tipo.

Answer 2

Es natural preguntarse por la probabilidad de divisibilidad para ser independientes relativamente primer enteros, lo que equivale a la elección de un entero de forma independiente la selección de la potencia de cada primer división.

Para lograr esto,

1. para cada prime $q$ tomar una constante $c_q \in (0,1]$, de tal manera que el infinito producto de todas las constantes $\prod c_q$ es distinto de cero;
2. luego de tomar (para cada prime $q$) cualquier distribución de probabilidad $P_q$ sobre el entero no negativo poderes de $q$ tal que $P_q[1]=c_q$.

Definir $\pi(n) = \prod P_{q}[q^{e_q(n)}]$ donde $q$ ejecuta a través de todos los primos y las $e_q(n)$ es el poder de la $q$ dividiendo $n$. Esta es la distribución del producto en (infinito) primer factorizations restringido a su probabilidad de $1$ subconjunto, los productos de un número finito de números primos. La condición (1) se asegura de que el complemento de lo finito factorizations tiene una medida de $0$.

Uno puede comprobar que $\sum \pi(n) = 1$ sin ningún tipo de dependencia de la probabilidad de los argumentos. La suma es en la mayoría de las $1$, y puede ser extendido pasado $1 - \epsilon$ tomando suficiente términos para incluir el producto de [suma de los primeros a$k$] para el primer $k$ primer distribuciones $P_q$, para lo suficientemente grande $k$.

Este es un countably aditiva de la probabilidad de cumplir las condiciones del problema. Ejemplos puede ser tenido por cualquiera de Dirichlet de la serie con los no-negativo de los coeficientes y de un no-negativa de Euler producto a un valor de $s$ donde ambos convergen. Si $$ F(s) = \sum a_n n^{-s} = \prod f_q(s) $$ the distribution is $\pi(k) = \frac{a_k}{k^{-s}F(s)}$ and the distribution $P_q$ is proportional to the coefficients of $f_q(s)$, with $c_q = \frac{1}{f_q(s)}$.

Sorprendentemente, $P_q$ es la determinación de las condiciones de Dirichlet de la serie $\frac{f_q(s)}{f_q(s)}$ donde el numerador es una forma de serie y el denominador es un número real igual a la suma de la misma serie.