Encuentre el valor de$\log_8 9 \times \log_9 10 \times \cdots \times \log_n(n+1) \times \log_{n+1}8$

Question

Estoy completamente perdido en esta pregunta. He estado buscando Google sin éxito.

Encuentra el valor de$$\log_8 9 \cdot \log_9 10 \dotsm \log_n(n+1) \cdot \log_{n+1}8$ $

Estoy completamente stumped en cuanto a dónde ni siquiera empezar a buscar. Si alguien pudiera señalarme en la dirección correcta, lo agradecería.

Answer 1

Recuerda eso $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$. El producto luego se telescopa.

Answer 2

Ponga cada logaritmo en la misma base:$$\log_89\cdot\log_910\cdot\cdots\cdot\log_n(n+1)\log_{n+1}8=\frac{\log 9}{\log 8}\cdot\frac{\log 10}{\log 9}\cdot\cdots\cdot\frac{\log(n+1)}{\log n}\frac{\log 8}{\log (n+1)}=1.$ $

Answer 3

Vuelva a escribirlas como \begin{align} \frac{\color{red}{\log\left(9\right)}}{\log\left(8\right)}\frac{\color{green}{\log\left(10\right)}}{\color{red}{\log\left(9\right)}}\frac{\color{blue}{\log\left(11\right)}}{\color{green}{\log\left(10\right)}}\frac{\log\left(12\right)}{\color{blue}{\log\left(11\right)}}\cdots\frac{\log\left(n+1\right)}{\log\left(n\right)}\frac{\log\left(8\right)}{\log\left(n+1\right)}=1, \end {align} ya que todos los logs cancelan en el medio y que deja los dos$\log\left(8\right)$ 's a ambos lados en el denominador y el numerador.

Answer 4

Insinuación:

ps

Utilice esto y verá que la respuesta es$$\log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b}.$.

Answer 5

Existe una "ley de cancelación" poco conocida y poco valorada para los logaritmos:

ps

(Esto es esencialmente lo mismo que la fórmula "cambio de base", escrita multiplicativamente en lugar de usar división.)

Si aplica esa propiedad aquí verá que todo en el problema se anula.