¿Cómo puedo encontrar rápidamente el determinante de esta matriz

Question

{Vmatrix} \begin{vmatrix} 14 & 2 & 1 & 3\\ 31 & 4 & 5 & 6\\ 26 & 3 & 7 & 4\\ 10 & 1 & 3 & 2\\ \end {vmatrix} - {vmatrix} Vmatrix} $$

Sin embargo, no puedo seguir adelante. La respuesta dada es cero. ¿Hay alguna propiedad determinante simple que no pueda adivinar?

Answer 1

Los dos últimos determinantes en su lado derecho son cero, ya que ambos tienen dos columnas iguales, por lo que quedan con:

$$ \begin{vmatrix} 14 & 2 & 1 & 3\\ 31 & 4 & 5 & 6\\ 26 & 3 & 7 & 4\\ 10 & 1 & 3 & 2\\ \end {vmatrix} = \begin{vmatrix} 5\cdot2 & 2 & 1 & 3\\ 5\cdot4 & 4 & 5 & 6\\ 5\cdot3 & 3 & 7 & 4\\ 5\cdot1 & 1 & 3 & 2\\ \end {vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 & 3\\ 4 & 4 & 5 & 6\\ 3 & 3 & 7 & 4\\ 1 & 1 & 3 & 2\\ \end {vmatrix} = 0 $$

Por supuesto, mucho más fácil, corto y claro, después de escribir su primer signo de igualdad, es observar que el determinante es cero directamente como

ps

De modo que el rango de la matriz no esté lleno y etc.

Answer 2

Usted ha encontrado -y lo expresó en la primera igualdad- que la primera columna es una combinación lineal de otras columnas:$$Col_1 = 5\cdot Col_2+Col_3+Col_4$$ And the simple determinant property you can't guess is: determinant with linearly dependent columns is $ 0 $ (y viceversa, si es cero, tiene linealmente dependiente Columnas y filas, también).