Sobre los grandes fundamentos cardinales de las categorías

Question

( Esto se ha publicado de forma cruzada en MathOverflow . )

Es bien sabido que existen dificultades para desarrollar la teoría de las categorías básicas dentro de los límites de $\sf ZFC$ . Se pueden superar estos problemas cuando se habla de categorías pequeñas, y quizás en uno o dos niveles cuando se habla de categorías más grandes (por ejemplo, si los objetos y los morfismos son todos definibles uniformemente, supongo que es posible demostrar algunas cosas básicas).

Pero a menudo queremos hablar de categorías cada vez más grandes, y para ello necesitamos la capacidad de tratar con clases de nivel cada vez más alto.

El camino más fácil para resolver esto es utilizar la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck, pero eso es equiconsistente con la existencia de una clase propia de cardinales inaccesibles. Aunque no es una suposición alucinante, sigue siendo bastante fuerte. Incluso si la gente sólo está interesada en uno o dos niveles, a menudo simplemente asumen que existe un número adecuado de cardinales inaccesibles.

Pero me preguntaba, ¿qué hay de malo en asumir que tienes una $\omega$ o $\omega+1$ cadena de modelos de $\sf ZFC$ ?

Es decir, una cadena $\langle M_n\mid n\in\omega\rangle$ tal que $(M_n,\in)\models\sf ZFC$ y $M_n\in M_{n+1}$ . Tal vez queramos otro $M$ que contiene también toda la secuencia. Incluso podemos suponer que son contables si realmente queremos. Esta es una suposición mucho más débil en términos de axiomas adicionales, y debería ser aproximadamente equivalente a $\rm Con^\omega(\sf ZFC+St)$ , donde $\sf St$ es el axioma que afirma que existe un modelo estándar.

Entonces, ¿por qué la gente salta a los grandes cardenales? Estoy seguro de que se necesitan para algunos construcción, pero si sólo queremos hablar de categorías de categorías, etc., ¿por qué no es suficiente el supuesto anterior? ¿Es sólo porque los cardinales grandes, o más bien los universos, son más fáciles de explicar al matemático en activo? ¿O hay algo que realmente no podemos hacer con este tipo de cadena de modelos y sí con cardinales inaccesibles?

Answer 1

Transmitido desde MO .

---

Permítanme hacer algunos comentarios como alguien que se ha convertido al enfoque universalista recientemente; pero tómenlo con una pizca de sal, ya que sólo he estado estudiando la teoría de las categorías durante 2½ años.

Debería mencionar brevemente el desencadenante que me llevó al campo pro-universo: hace unos 6 meses, empecé a aprender sobre las cuasicategorías y me convencí de que la teoría se basaba en demasiada maquinaria para admitir un enfoque elemental viable que nos permitiera considerar entidades como la cuasicategoría de todos los complejos de Kan dentro de un marco similar al de NBG -¡que es la razón de ser de las cuasicategorías en primer lugar! Así que decidí que tendría que empezar a tomar los universos en serio, y para ello los universos no serían simplemente para llevar la contabilidad, sino para hacer matemáticas de verdad.

Si lo único que quisiéramos es asegurar que existen conjuntos de gran cardinalidad y alta complejidad, probablemente bastaría con tener una cadena $M_0 \in M_1 \in M_2 \in \cdots$ de los modelos (transitivos) de la teoría de conjuntos (digamos, ZFC), pero esto me parece muy insatisfactorio. Por ejemplo, consideremos los teoremas que afirman que algún objeto con alguna propiedad universal existe : no hay garantía de que un objeto universal en $M_0$ sigue siendo universal en $M_1$ . De hecho, uno de estos teoremas dice que, para todo conjunto $X$ existe un conjunto $\mathscr{P}(X)$ y una relación binaria $[\in]_X \subseteq X \times \mathscr{P}(X)$ tal que, para cada relación binaria $R \subseteq X \times Y$ hay un mapa único $r : Y \to \mathscr{P}(X)$ tal que $\langle x, y \rangle \in R$ si y sólo si $\langle x, r(x) \rangle \in [\in]_X$ . Por supuesto, es bien sabido que los conjuntos de potencias no necesitan ser preservados al pasar de un modelo de teoría de conjuntos a otro. Pero si no se conserva algo tan trivial como los conjuntos de potencias, ¿qué esperanza hay de conservar objetos universales más complicados como la indeterminación libre de una categoría, o incluso el monoide libre en un generador (es decir $\mathbb{N}$ !)? Para un teórico de la categoría, trabajar en un entorno en el que los objetos universales tienen que ser calificados por un parámetro del universo es simplemente insostenible.

Por lo tanto, tenemos que encontrar algún tipo de compromiso: necesitamos una cadena de universos de tal manera que cada universo esté incrustado en el siguiente de la forma más agradable posible, de modo que las matemáticas de un universo coincidan con las del siguiente tanto como sea factible. La situación más ideal que se podría esperar es algo así:

Dejemos que $\mathcal{C}$ sea un esquema de categoría, es decir, una función definible que asigna a cada universo suficientemente agradable $\mathbf{U}$ una categoría $\mathcal{C}(\mathbf{U})$ tal que, para cualquier universo $\mathbf{U}^+$ con una incrustación suficientemente agradable $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}^+$ , $\mathcal{C}(\mathbf{U})$ es una subcategoría (en sentido estricto) de $\mathcal{C}(\mathbf{U}^+)$ .

Decimos que una inclusión $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}^+$ es adecuado para un esquema de categorías $\mathcal{C}$ si se cumplen las siguientes condiciones:

1. $\mathcal{C}(\mathbf{U})$ es una subcategoría completa de $\mathcal{C}(\mathbf{U}^+)$ no obtenemos ningún nuevo morfismo entre objetos en $\mathcal{C}(\mathbf{U})$ al pasar a un universo mayor.
2. La inclusión $\mathcal{C}(\mathbf{U}) \hookrightarrow \mathcal{C}(\mathbf{U}^+)$ conserva todos los límites y colímites que existen en $\mathcal{C}$ para $\mathbf{U}$ -Pequeños diagramas: el tipo más elemental de construcciones universales se conserva al pasar a un universo mayor.
3. Además $\mathcal{C}(\mathbf{U})$ está cerrado en $\mathcal{C}(\mathbf{U}^+)$ bajo todos los límites y colímites para $\mathbf{U}$ -Pequeños diagramas: para que el paso a un universo mayor no cree nuevos objetos universales donde antes no existían.

Entonces, ¿cuándo es $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}^+$ adecuado para el esquema de categorías $\mathbf{Set}$ si $\mathbf{U} \in \mathbf{U}^+$ ? Damos por hecho que $\mathbf{U}$ y $\mathbf{U}^+$ son modelos transitivos de ZFC. La primera condición implica que esta extensión no tiene nuevos subconjuntos, y si no hay nuevos subconjuntos, tampoco hay nuevas funciones, por lo que (1) se cumple si y sólo si la extensión preserva los conjuntos de potencias. Al considerar construcciones explícitas, se ve que los igualadores se conservan, y en cuanto conocemos (1), los productos también se conservan. Podemos entonces utilizar la monadicidad de $\mathscr{P} : \mathbf{Set}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ para deducir que los colímites se conservan, por lo que (1) implica (2). En particular, las uniones dirigidas se conservan, por lo que se deduce que $\mathbf{U}$ se incrusta como un segmento inicial de la jerarquía acumulativa de $\mathbf{U}^+$ . ¿Qué pasa con (3)? Bueno, toma un $\mathbf{U}$ -Configurar $I$ y un mapa $X : I \to \mathbf{U}$ en $\mathbf{U}^+$ . Por sustitución en $\mathbf{U}^+$ podemos formar la unión disjunta $\coprod_{i \in I} X(i)$ y si (3) se cumple, el cardinal de este conjunto está en $\mathbf{U}$ . Así, $\mathbf{U}$ debe estar incrustado como un universo de Grothendieck en $\mathbf{U}^+$ . Por el contrario, si $\mathbf{U}$ está incrustado como un universo de Grothendieck en $\mathbf{U}^+$ entonces (1), (2) y (3) se verifican fácilmente.

Pero, ¿son suficientes los universos de Grothendieck? Por ejemplo, sería bueno que lo siguiente fuera cierto:

Dejemos que $\kappa$ sea el menor cardinal (incontable fuertemente) inaccesible, sea $\mathbb{B}$ ser un $\mathbf{V}_{\kappa}$ -categoría pequeña, y que $\mathcal{M}$ sea el esquema de la categoría que se obtiene al definir $\mathcal{M}(\mathbf{U})$ para que sea la libre indeterminación de $\mathbb{B}$ en relación con $\mathbf{U}$ para cada universo de Grothendieck $\mathbf{U}$ . Supongamos que $\mathcal{M}(\mathbf{V}_{\kappa})$ admite una estructura de modelo generada de forma cofibrante. Entonces, para todos los universos de Grothendieck $\mathbf{U}$ existe una (única) estructura de modelo generada cofibrantemente en $\mathcal{M} (\mathbf{U})$ ampliando el de $\mathcal{M}(\mathbf{V}_{\kappa})$ .

Sin embargo, no sé si esto es cierto. Lo que sí sé es que las incrustaciones de los universos de Grothendieck son adecuadas para $\mathcal{M}$ De hecho, las categorías localmente presentables y las uniones entre ellas se comportan muy bien bajo este tipo de ampliación del universo.