Orden de grupos y elementos de grupo?

Question

Sea G un grupo y sea p un primo. Deje que g y h son elementos de G de orden p.

Me pregunto cómo se puede utilizar la teoría de grupos para encontrar los posibles órdenes de la intersección entre la $\def\subgroup#1{\langle#1\rangle}\subgroup g$ $\subgroup h$ y también para demostrar que el número de elementos de orden $p$ $G$ es un múltiplo de a $p-1$.

He estado buscando el camino para las edades y no tiene nada realmente. Estos se presentan como aplicaciones típicas para el grupo de teoría y no estoy a gusto con el tema por lo que me gustaría ver cómo usted piensa en este ejemplo (con el fin de obtener una mejor idea). Puede usted sugerencia de mí? Gracias.

Answer 1

Como señaló el Papa, la primera cosa a notar es que la intersección de dos subgrupos, $\langle g\rangle $ $\langle h\rangle$ es un subgrupo de $G$, pero además, también es un subgrupo de ambos $\langle g\rangle$$\langle h\rangle$. Un grupo cíclico de primer orden, tales como la $\langle g\rangle$ sólo tiene dos subgrupos $\langle 1 \rangle$$\langle g\rangle$, así que podemos ver que la intersección es trivial o los dos subgrupos son los mismos.

Considere lo que el de arriba muestra sobre subgrupos de orden $p$. Lo que puede su solapamiento? Si usted se centra en $\langle g\rangle$, ¿cuántos elementos de orden $p$ tiene? Puedes usar estas ideas para conseguir lo que quieres?