¿Qué hago en el caso de esta doble serie?

Question

Soy un estudiante que aprende de los ejemplos, y aún no he visto lo que pasa cuando dos sumas como esta,

$$ \displaystyle\sum\limits_ {a=1}^2 \displaystyle\sum\limits_ {b=a+1}^2 4 \left [ \left ( \frac {1}{b-a} \right )^8 - \left ( \frac {1}{b-a} \right )^4 \right ]$$

se resuelva. Estoy seguro de que cuando a = 1, la suma interna debe resolverse como cualquier "suma normal", pero cuando a = 2, ¿qué pasa? ¿Salto el proceso de la suma interna; procedo con la suma interna, y si es así, de qué manera resuelvo la suma interna; o resuelvo este problema de una manera completamente diferente?

Answer 1

Pensando inductivamente en los índices superior e inferior, podemos pensar en una suma como una diferencia de dos funciones en los números enteros: $$ \sum_ {k=a}^bf(k)=F(b)-F(a-1) $$ Incluso en esta generalización, si $b=a-1$ la suma es $0$ sin tener en cuenta $f$ .