Mi premisa general es que quiero investigar las transformaciones entre dos conjuntos distintos de los vértices de la n-dimensional de colectores y, a continuación, encontrar aplicaciones a la física teórica por:
Minimizar el cambio en la forma fundamental de los vértices (quiero un convexo polytope permanecer un convexo polytope).
Describir la dinámica de la transformación. (Posibles aplicaciones a la física teórica)
Búsqueda de condiciones de restricción en lo que puede y no puede ocurrir cuando el espacio en el que la transformación que está ocurriendo no es "regular". Esto incluye no-en todas partes-diferenciable colectores, singularidades, y otros los casos patológicos.
Bien, es un ambicioso proyecto. Pero en cualquier caso he hecho algunos avances para la n-dimensional caso con n vértices, donde el espacio es "normal" y no he introducido matemáticas avanzadas todavía. Yo soy todo jugando en el espacio de configuración de los vértices en el espacio euclidiano o algo similar.
He definido un funcional en el espacio de configuración que da la longitud de todos los caminos posibles en el espacio de configuración entre dos conjuntos distintos de los vértices en $\mathbb{R^n}$ como sigue:
$$T = \int\limits_{\lambda_{1}}^{\lambda_{2}} \sqrt{\sum_{I=1}^{n} \sum_{i=1}^{d} \left(\frac{d}{d\lambda}\left(\sum_{j=1}^{d} (\lambda)R_{j}^{i}(\lambda)(q_{I}^{j}(\lambda) + a^{j}(\lambda))\right)\right)^2} d\lambda$$
Donde $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ corresponden al punto de partida y el punto final de la transformación. Los miembros del grupo gauge se $s$ (dilatación), $R$ (rotación), y $a$ (traducción). $q_{I}^{j}$ corresponde a un punto en el espacio de configuración que representan a $I$ vértices y vive en $j$ dimensiones. ($i$ es también un índice de la dimensión)
Usted puede pensar de la ecuación como la búsqueda de la línea recta entre dos puntos (en el espacio de configuración) teniendo en cuenta todos los diversos caminos de resolver para las condiciones de restricción en el de Euler-Lagrange ecuación (recall): $$\frac{\partial{f}}{\partial{x}} - \frac{d}{d \lambda} \left(\frac{\partial{f}}{\partial{\dot{x}}}\right) = 0$$ Esto se representa en la figura de abajo, cuando el espacio no tiene curvatura.
Con suerte, usted tiene una idea general acerca de lo que estoy hablando, esto es alrededor de la página 5 del documento donde se introduce, hay una gran cantidad de antecedentes que no voy a discutir. He construido un ejemplo claro con tetraedros donde un tetraedro se aproxima a otro tetraedro en un ser minimizado manera. He aquí una figura que yo hice:
que puede ayudar a entender lo que estoy tratando de trabajar con... en cualquier caso, voy a pedir a mis preguntas ahora.
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[Opcional para el lector intrigado]:
¿Cómo puedo empezar a generalizar este geodésica ecuación, de modo que se puede comentar sobre los espacios con diferentes indicadores o comportamientos irregulares? Como un ejemplo de lo que estoy tratando de alcanzar, yo estaría interesado en ver cómo un conjunto de vértices podría geodesically atravesar una singularidad en un suave 2-colector, y si pudiera definir un funcional para cualquier comportamiento en cualquier colector (me gustaría intento de limitar a 2-dimensiones para empezar) con el tiempo. Hay dos tipos principales de singularidades yo estaría interesado en la investigación, el primero sería el "agujero negro tipo" en el que una diffeomorphism en las múltiples causas "un agujero en la parte inferior". Esto significa que habrá un aumento exponencial en la curvatura alrededor de la vecindad de la singularidad, y quiero averiguar cómo un conjunto de vértices ofertas con las que se imponen las condiciones. La otra sería para una 2-variedad sin curvatura y yo sé que para una determinada configuración de los vértices, con la geodésica (basado en la ecuación de arriba) situados a lo largo de una línea determinada. Si puedo crear un agujero (simplemente eliminar un punto de la misma manera, usted puede crear un agujero en una sola variable definida a trozos función real), ¿qué sucede con la línea geodésica? ¿Cómo puedo codificar esta información, por lo bien que empuja a la derecha a través del agujero de alguna manera, define una nueva ruta de acceso a su alrededor?
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Pregunta Principal: Para una funcional (suponiendo que yo pudiera derivarse de uno) que proporciona la ruta de acceso de un conjunto distinto de los vértices a otro en un n-dimensional suave colector con forma de preservar las características. Cuando una singularidad es introducido en el colector, la geodésica ecuación:
De alguna manera de empujar a través de la singularidad/ignore los que está presente.
Definir una ruta alternativa en torno a la singularidad (esto es lo que espero, para que yo pueda investigar más a fondo con las aplicaciones agujero negro de la dinámica)
Convertido en indefinido y nada de resultados de utilidad
