Es uniformemente continua en $f(x) = \sqrt x$ $[0,\infty)$

Question

He visto una prueba en $\sqrt x$ es uniformemente continua

A continuación se muestra una alternativa a prueba. Por favor me corrija si estoy equivocado.

Prueba:

Para cualquier $\epsilon >0$,

Vamos $\delta_1 = \frac{\epsilon}{2}$, $\forall x,y \in [1,\infty)$ con $|x-y|<\delta_1$

Desde $|\sqrt x + \sqrt y|\geq2$

$|\sqrt x - \sqrt y| $ = $\frac{|x-y|}{|\sqrt x+\sqrt y|} < |x-y| < \delta_1 = \frac{\epsilon}{2}$

Por lo tanto, $\sqrt x$ es uniformemente continua en a $[1,\infty)$.

$\sqrt x$ es continua en [0,1] , por lo $\sqrt x$ es uniformemente continua en [0,1].

Así, no existe $\delta_2 > 0$ tal que $\forall x,y \in [0,1], |x-y|<\delta_2$, $|\sqrt x -\sqrt y| <\frac{\epsilon}{2}$

Deje $\delta = \min{(\delta_1,\delta_2)}$

$\forall x,y \in [0,\infty)$ $|x-y|<\delta$,

Caso 1: $x,y \in [0,1]$ Probado anteriormente como $|x-y| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$

Caso 2: $x,y \in [1,\infty)$ Probado anteriormente como $|x-y| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$

Caso 3: $x \in [0,1] , y \in [1,\infty]$

$|\sqrt x-\sqrt y| = |\sqrt x -1+1-\sqrt y| \leq |\sqrt x-1| + |\sqrt y -1| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}= \epsilon$

aplicando el caso 1 y el caso 2.

Answer 1

Que $0 < \epsilon < 1$ y $x,y \in [0,\infty)$ $|x-y| < \epsilon^2$.

Considerar el $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = ||\sqrt{x}| - |\sqrt{y}|| \leq |\sqrt{x} + \sqrt{y}|$.

Así, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}|^2 = |\sqrt{x} - \sqrt{y}|\cdot |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq |\sqrt{x} - \sqrt{y}|\cdot |\sqrt{x} + \sqrt{y}| = |x-y|$, es decir, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq |x-y|^{\frac{1}{2}}$ lo que implica que el $\sqrt{\centerdot}$ es Hölder continuo.

Por último, $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| \leq |x-y|^{\frac{1}{2}} < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon$.

Q.E.D.

Answer 2

sugerencia

Deje $f: \;x\mapsto \sqrt{x} $$\epsilon>0$.

$f $ es uniformemente continua en el compacto $[0,\frac 1 4] $ porque es continua. existen $\delta_1>0$ tal que $$\forall (x,y)\in [0,\frac 1 4]^2$$

$|x-y|<\delta_1\implies|f (x)-f (y)|<\epsilon $

$f $ es uniformemente continua en a $[\frac 1 4,+\infty) $ ya que es lipschitzienne. $(|f (x)-f (y)|=\frac {|x-y|}{f(x)+f(y)|}\leq |x-y|)$.

existen $\delta_2>0$ tal que $$\forall x,y\geq \frac 1 4$$

Ahora vamos a tratar el caso de $x\leq \frac 14\leq y.$ $f $ es continua en a $\frac 14$, lo que existen $\delta_3>0$ tal que $$|x-\frac 1 4 |<\delta_3\implies |f (x)-\frac 1 2|<\frac {\epsilon}{2} $$.

así que si $x\in [0,\frac 1 4] $ $y\in [\frac 1 4,+\infty) $ $|x-y|<\delta_3$

$|x-\frac 1 4|<\delta_3$ $|y-\frac 1 4|<\delta_3$ así

$$|f (x)-\frac 1 2|<\frac {\epsilon}{2} $$ y $$|f (y)-\frac 1 2|<\frac {\epsilon}{2} $$

$$\implies $$

$$|f (x)-f (y)|\leq|f (x)-\frac 1 2|+|f (y)-\frac 1 2|<\epsilon $$

Ahora tomamos $$\delta=\min (\delta_1,\delta_2,\delta_3) $$

Se puede terminar.