Buscando el teorema de la forma: Si [hipótesis de curvatura, etc] entonces toda clase en $\pi_1(M)$ está representada de forma única por una geodésica cerrada

Question

Recuerdo una conversación en la que alguien me describió un resultado que sonaba algo así:

Dejemos que $M$ sea una variedad de Riemann cerrada que satisface [algunas hipótesis, entre las que destaca alguna hipótesis de curvatura negativa]. Entonces, cada clase del grupo fundamental $\pi_1(M)$ está representada exactamente por un bucle geodésico de velocidad unitaria.

Hay algunas cuestiones técnicas con la declaración anterior (por ejemplo, ¿qué pasa con los puntos de base?), pero sólo quería transmitir la esencia de la declaración. Ahora bien, en el momento de la conversación, me impresionó mucho este resultado y desde entonces he tenido en mente buscar este resultado y al menos entender de dónde podría venir algo así. Por fin me puse a ello, pero enseguida me encontré con el problema de que no podía recordar el enunciado exacto del teorema, ni podía encontrar un resultado parecido buscando términos relevantes.

Pregunta: ¿Alguien sabe de un resultado parecido a lo expuesto anteriormente? Si es así, agradecería mucho una declaración precisa, y una referencia.

Posiblemente no haya ningún resultado así, y yo haya entendido mal lo que se decía en esta conversación.

Answer 1

Hay dos versiones diferentes de respuestas afirmativas a su pregunta. Las expondré en el lenguaje de las "geodésicas reparametrizadas de velocidad constante" que tienen un dominio común de longitud fija, en lugar de las "geodésicas de velocidad unitaria" que requerirían el uso de dominios de longitudes variables.

En primer lugar, describiré una versión de base. Elección de un punto base $p \in M$ tiene el efecto deseable de que el grupo fundamental $\pi_1(M,p)$ se convierte en un objeto bien definido. Para ser precisos, un elemento de $\pi_1(M,p)$ es por tanto una clase de homotopía de caminos $\gamma : [0,1] \to M$ con puntos finales en $p$ donde "homotopía del camino" significa que los puntos finales son estacionarios bajo la homotopía. En este contexto, si $M$ es una variedad riemanniana completa de curvatura de sección no positiva, entonces cada elemento de $\pi_1(M,p)$ tiene un único representante $\gamma : [0,1] \to M$ con puntos finales en $p$ que es una reparametrización a velocidad constante de una geodésica.

En segundo lugar, describiré una versión sin puntos base, aunque seguiré utilizando puntos base para expresar el resultado. Para cada punto base $p$ el conjunto de clases de conjugación en $\pi_1(M,p)$ corresponde bijetivamente al conjunto de clases de homotopía de funciones continuas $\sigma : S^1 \to M$ (y este último conjunto está bien definido independientemente de la elección de $p$ ). En este contexto, si $M$ es un compacto El colector riemanniano de negativo curvatura seccional entonces cada clase de conjugación en $\pi_1(M,p)$ está representado por un mapa geodésico reparametrizado de velocidad constante $\sigma : S^1 \to M$ que es único hasta las isometrías rotacionales del dominio $S^1$ .

Obsérvense las diferencias entre estas dos versiones: la primera permite la no compacidad y permite curvaturas seccionales no positivas; la segunda requiere compacidad y requiere curvaturas seccionales negativas. Además, debido a la presencia de un punto base, la primera versión da un representante único en la nariz; mientras que la segunda versión es un poco más débil, permitiendo la no unicidad hasta el "cambio de punto base" donde se permite que el punto base gire alrededor de la curva.

No tengo una referencia en particular para recomendar, pero cualquier libro de texto sobre geometría diferencial que cubra el tensor de curvatura de Riemann y discuta las geodésicas y sus puntos conjugados debería tener este resultado.

Answer 2

He leído un poco los antecedentes y ahora entiendo un poco lo que está pasando. Consideremos la versión basada en el resultado como en Lee Mosher de la respuesta. Sigo su ejemplo y sólo considero las geodésicas de velocidad constante y parametrizadas por el inverval unitario.

Teorema: Dejemos que $M$ sea una variedad completa de Riemann con curvatura seccional no positiva y elija un punto base $p \in M$ . Entonces, cada clase en $\pi_1(M,p)$ está representada exactamente por una geodésica.

Este resultado parece muy sorprendente al principio, pero lo es menos cuando se conoce el Teorema de Cartan-Hadamard que esencialmente dice que si una variedad completa de Riemann de curvatura seccional no positiva está simplemente conectada, entonces es difeomorfa a $\mathbb{R}^n$ a través de cualquiera de sus mapas exponenciales. Esto, al menos, parece plausible, ya que la hipótesis de curvatura no positiva debería hacer que las geodésicas se "extendieran", pero aún así me sorprendió bastante conocer este resultado. En particular, este resultado nos da:

Corolario de C-H: Cada par de puntos de una variedad de Riemann completa y simplemente conectada de curvatura seccional no positiva está conectada precisamente por una geodésica.

Utilizando la cobertura universal, no es difícil ver que este corolario demuestra el teorema que buscamos. En primer lugar, levantando la estructura de Riemann de $M$ a la cubierta universal $\widetilde M$ nos da una variedad de Riemann completa, simplemente conectada, de curvatura seccional no positiva. Por elevación, toda clase de homotopía de bucles basada en $p$ en $M$ está en correspondencia biyectiva con la colección de todos los caminos de $\widetilde p$ a $\widetilde p'$ donde $\widetilde p, \widetilde p' \in \widetilde M$ son dos ascensos de $p$ . Esta correspondencia preserva las geodésicas, por lo que el corolario anterior nos da el teorema directamente.