Voy a copiar su notación en mi respuesta.
Supongamos que $f$ es continuamente diferenciable en a $[a,b]$. Afirmo que en este caso hay un intervalo de $(a',b')$ tal que $f$ es levemente decreciente en ese intervalo de tiempo.
Tenga en cuenta que si $f'(c) < 0$, entonces existe un abierto barrio de $c$ tal que $f'(x) < 0$ a este barrio y, por tanto, $f$ es estrictamente decreciente a este barrio.
Por lo tanto, estamos realiza si hay alguna $c \in [a,b]$ tal que $f'(c) < 0$. Así que supongo que $f'(x) \geqslant 0$ todos los $x \in [a,b]$.
Ahora tenga en cuenta, que si $f'(x) \geqslant 0$ todos los $x \in [a,b]$, luego tenemos a $f(a) \leqslant f(b)$. Con igualdad si y sólo si $f'(x) = 0$ todos los $x \in [a,b]$. Por supuesto,$f(a) \geqslant f(b)$. Por lo tanto $f(a) = f(b)$ $f'(x) = 0$ todos los $x \in [a,b]$ y, por tanto, $f(x) = f(a) = f(b)$ todos los $x \in [a,b]$ y hemos terminado.
Tenga en cuenta que esta prueba se generaliza a trozos continuamente diferenciable $f$. Partición de un intervalo de $[a,b]$ en pedazos $[a_{i},b_{i}]$ tal que $f$ es continuamente diferenciable en cada una de las $[a_{i},b_{i}]$. Si $f$ es estrictamente creciente en todas las piezas, a continuación, $f$ es estrictamente creciente, una contradicción con la suposición de que esto no es así. Por lo tanto $f$ no es estrictamente creciente en al menos una de las piezas $[a_{i},b_{i}]$ y la prueba anterior se aplica.
Algunas palabras acerca de la minimality de esta suposición. Según la wikipedia, cualquier función monótona en un intervalo es derivable en casi todas partes. Esto demuestra que cualquier función diferenciable en ningún lugar es un contra-ejemplo a su reclamo.
Esto significa que las funciones que no somos decidido aún son las funciones que están en casi todas partes continuamente diferenciable, pero no diferenciable a trozos. Debo admitir que me cuesta imaginar qué tal función gustaría.
