Deje $\mathcal{A}$ ser un abelian categoría.
Decimos que $\mathcal{A}$ satisface (AB5) si $\mathcal{A}$ es cocomplete y filtrada colimits son exactas.
En Weibel Introducción del álgebra homológica, afirma (sin pruebas) que $\mathcal{A}$ satisface el axioma (AB5) iff $\mathcal{A}$ es cocomplete y para todas las celosías $\{ A_i \}$ de los subobjetos de $A \in \mathcal{A}$ y todos los subobjetos $B$$A$, $$ \sum (A_i \cap B) = B \cap \sum A_i.$$
He estado pensando en esto por un par de días, pero han sido incapaces de hallar una prueba. En la dirección de avance me parece que no puede relacionar la suma de subobjetos y filtrada colimits. No tengo idea acerca de la dirección hacia atrás. Podría alguien darme una pista?
Nota: Este no es un ejercicio en Weibel del libro, lo declara en el anexo en la categoría de teoría cuando él es la definición de axioma (AB5). Se afirma sin prueba de Grothendieck de Tōhoku de papel. También, es un ejercicio de Freyd del abelian categorías.
