Demuestra que la suma de cuadrados de 3 racionales no puede ser 7

Question

Demostrar que no hay $r_1, r_2,r_3 \in \mathbb{Q}$ para que ${r_1}^2 + {r_2}^2 + {r_3}^2=7 \tag1$

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De (1) obtenemos $a^2 + b^2 + c^2=7n^2 \tag2$ donde $a,b,c,n \in \mathbb{N}$ . He intentado jugar con la paridad de estos números, sin éxito.

ACTUALIZACIÓN

Supongamos que $n$ está en paz. Entonces $a, b, c$ son todos iguales o sólo uno de ellos, digamos $a$ está en paz. El último caso no es posible porque aplicando el módulo 4 a (2) obtenemos $2=0$ . Así que $a, b, c$ son todos parejos. Simplificando repetidamente por 4, podemos reducir este caso a $n$ impar.

Supongamos ahora que $n$ es impar. Entonces $a, b, c$ son todos impar o dos de ellos, digamos $a,b$ están en paz. El último caso no es posible porque aplicando el módulo 4 a (2) obtenemos $1=3$ .

El único caso que no puedo cubrir es $a,b,c,n$ todo impar.

Answer 1

Se trata de las restricciones de los dos ejércitos. Primero, los cuadrados Impares de los enteros son $1 \pmod 8.$ Los cuadrados enteros sólo pueden ser $0,1,4 \pmod 8$ en cualquier caso. Por lo tanto, la suma de tres cuadrados enteros no puede ser $7 \pmod 8.$

A continuación, si la suma de tres cuadrados es divisible por $4,$ así que $x^2 + y^2 + z^2 = k$ con $k \equiv 0 \pmod 4,$ entonces $x,y,z$ debe ser par para que podamos dividir y obtener enteros $\left( \frac{x}{2} \right)^2 + \left( \frac{y}{2} \right)^2 +\left( \frac{z}{2} \right)^2 = \frac{k}{4}.$ Esto es todo lo que necesitas para tratar $x^2 + y^2 + z^2 = 7 n^2$ en números enteros.

También vale la pena mencionar a Aubry-Davenport-Cassels, hay una prueba geométrica de que, si un número es la suma de tres cuadrados racionales, también es la suma de tres cuadrados enteros. Esto se presenta en el pequeño libro de Serre.

Acerca de $7$ mismo, si tenemos $u^2 + v^2 + w^2 = k$ con $u,v,w$ no todos divisibles por $7,$ entonces podemos resolver $x^2 + y^2 + z^2 = 49k$ con $x,y,z$ todo distinto de cero $\pmod 7.$ Es decir, elegimos uno de $(u,v,w)$ o $(-u,v,w)$ o $(u,-v,w)$ o $(u,v,-w)$ (y renombrar como $(u,v,w)$ de nuevo) para que $u + 2 v + 4 w \neq 0 \pmod 7.$ Entonces tomamos $$ x = 3u+6v - 2w, \; \; \; y = -2u+3v +6w, \; \; \; z = 6u -2v +3 w. $$ Todos son distintos de cero $\pmod 7.$ Esta es la matriz racional ortogonal $$ \frac{1}{7} \left( \begin{array}{rrr} 3 & 6 & -2 \\ -2 & 3 & 6 \\ 6 & -2 & 3 \end{array} \right) $$ como en PALL 1940