Cohomología de Rham de $T^*\mathbb{CP}^n$

Question

Estoy un poco oxidado en mi de Rham cohomology, y estoy esperando que alguien de aquí me podría ayudar.

Quiero encontrar la cohomology de $T^*\mathbb{CP}^n$ (visto como un verdadero colector). Ahora, este debe ser igual a la cohomology de $\mathbb{CP}^n$ ya que los dos están homotópica (por homotopy de cada fibra con un punto), por lo tanto el problema se reduce al cálculo de $H^\bullet(\mathbb{CP}^n)$. ¿Cómo puedo proceder a encontrar? Sería algo como la tercera posibilidad propuesto en esta respuesta de trabajo (mediante la toma de $G=\mathbb{C}^*$ actuando en $\mathbb{C}^{n+1}$)?

Answer 1

Permítanme elaborar en @Aaron comentario. Deje $\omega$ ser el Fubini-Estudio de la forma simpléctica en $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$. Puede utilizar la vara de Aarón enfoque a la conclusión de que la $H^i(\mathbb{C}\mathbb{P}^n)$ es unidimensional para, incluso, $i$ $0$ $2n$ y es trivial lo contrario. Para el cálculo de la estructura de anillo, uno puede mostrar $\omega^j$ es cerrado, pero no exacto para $0\leq j\leq n$. Por lo tanto, su clase en cohomology genera $H^{2j}(\mathbb{C}\mathbb{P}^n)$ como un espacio vectorial de todas las dichas $j$. Por lo tanto, la cohomology de $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ es generado por $[\omega]$ como un álgebra. La única relación es que $[\omega]^{n+1}=0$. Esto le da a usted de Aarón respuesta.