Construcción del plano proyectivo más $\mathbb{F}_3$

Question

Tengo una pregunta acerca de la construcción proyectiva del plano más de $\mathbb{F}_3$. Debemos establecer, en primer lugar siete clases de equivalencia $P= \{ [0,0,1], [0,1,0], [1,0,0], [0,1,1], [1,1,0], [1,0,1], [1,1,1] \}$.

Dado un triple $(a_0, a_1, a_2) \in \mathbb{F}^3_3 \setminus (0, 0, 0)$ definimos la línea de $L(a_0, a_1, a_2)$ como sigue: $L(a_0, a_1, a_2) := \{ [x_0; x_1; x_2] \in P : a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 = 0 \}$.

Es bastante fácil para los $L(0,0,1), L(0,1,0), L(1,0,0)$, ya que debemos tomar los puntos que tienen cero en la primera, segunda y tercera coordenada.

Es más difícil para mí para $L(0,1,1)$, porque aquí tenemos que tener $x_1+x_2=0$. Tomamos las coordenadas de los puntos como elementos de $\mathbb{F}_2$ o $\mathbb{F}_3$?

Hay $26$ cero triples en $\mathbb{F}^3_3$.

Se comprueba que todos 26 $L(x_0, x_1, x_2)$ juegos?

Por favor, ayudar, porque yo realmente quiero entenderlo.

Gracias.

Answer 1

Usted está describiendo un método para obtener el plano de Fano, que por definición es el plano proyectivo sobre $\mathbb F_2$.

Para conseguir que el plano proyectivo sobre $\mathbb F_3$ en una manera similar, haga lo siguiente:

Seleccione un conjunto de proyectiva representantes de los distintos de cero los elementos de la $\mathbb F_3^3$. Una manera de hacerlo es seleccionar sólo los vectores cuya primera distinto de cero la entrada es de un $1$. Desde $\mathbb F_3$ $2$ unidades, $(3^3 - 1) / 2 = 13$ vectores. Los vectores se denominan coordenadas de los vectores y darle la $13$ de los puntos del plano proyectivo.

También puede utilizar las coordenadas de los vectores de la descripción de las líneas: Cada coordenada del vector $v$ corresponde a la línea que contiene a todos los puntos de $w$ de manera tal que el producto escalar de a $v$ $w$ es igual a $0$ (por lo $\langle v,w\rangle = 0$). De esta manera, hay $13$ líneas que contengan $4$ puntos cada uno.

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Normalmente, el plano proyectivo sobre un campo $K$ se define de esta manera:

Los subespacios de $K^3$ de la dimensión de $1$ son los puntos, y los subespacios de $K^3$ de la dimensión de $2$ son las líneas. Puede valer para convencerse de que la construcción es compatible con esta descripción.

Answer 2

Los puntos y líneas no son triples en $\mathbb {F}^3_3$, pero son elementos de $\mathbb{F}^3_2$. Así las coordenadas de puntos y líneas son en $\mathbb{F}_2$.

Por ejemplo, su línea $L(0,1,1)$ contiene lo puntos $[x_0,x_1,x_2]$ $x_1+x_2=0$. Así $x_1=x_2=1$ o $x_1=x_2=0$. Por lo que las posibilidades son: $[0,1,1]$, $[1,1,1]$, $[1,0,0]$.

Edit: en primer lugar la pregunta era sobre el plano de Fano, proporcioné mi respuesta en ese caso.