Estudiar la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}{\prod_{k=1}^{n}{\sin (k)}}$

Question

Usted me puede ayudar para estudiar la convergencia de las siguientes series:

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\prod_{k=1}^{n}{\sin (k)}}$$

Gracias.

Answer 1

La serie es convergente, ya que es absolutamente convergente. Desde la secuencia de $\{\{n/\pi\}\}_{n\in\mathbb{N}}$ es equidistributed $\pmod 1$, $|\sin n|\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$ mantiene por sobre $\frac{2N}{3}$ enteros en el rango de $[1,N]$, suponiendo que el $N$ es lo suficientemente grande. Esto nos da: $$\left|\prod_{n=1}^{N}\sin n\right|\leq \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2N/3}.$$

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Puesto que es bien conocido que $$\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi k}{n}=\frac{2n}{2^n}, $$ la explotación de la concavidad de $\sin x$ $[0,\pi]$ y el Karamata la desigualdad obtenemos el verdadero orden de magnitud de $|a_n|$: $$\left|\prod_{n=1}^{N}\sin n\right|\approx\frac{1}{2^N}.$$ Esto también se sigue de Weyl del teorema de equidistribución y el hecho de que: $$\int_{0}^{\pi}\log\sin x\,dx = -\pi\log 2.$$

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Por otra parte, desde $$ \sum_{n=113}^{+\infty}\prod_{\substack{k\in[1,n]\\k\neq 113}}\sin k$$ está delimitado por algunos pequeños constante por similares argumentos, y $\frac{355}{113}$ es una muy buena aproximación de la $\pi$, se pueden calcular las primeras cuatro cifras significativas del valor de la serie que acaba de sumar la primera $113$ términos:

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\prod_{k=1}^{n}\sin k = 1.\color{red}{6583}\ldots.$$

Answer 2

$|a_{n+2}/a_n|$ está limitada por encima por un número $x<1$, que $$\sum_n |a_n|<C\sum_n x^{n/2}$ $