Ejemplo donde $\lim_{x\to 0}f(x^2)$ existe pero no $\lim_{x\to 0}f(x)$.

Question

¿Alguien me puede dar un ejemplo donde $$\lim_{x\to 0}f(x^2)$$ exists but $% $ $\lim_{x\to 0}f(x)$no?

Answer 1

Sí. Que $f(x) = 1$ $x<0$ y $f(x) = 0$ $x \geq 0$. $f(x^2) = 0$ por lo que el límite existe. $f(x)$ es discontinua en cero (el límite por la izquierda es de $1$ pero el límite de la derecha es cero) por lo que el límite no existe.

Answer 2

Por ejemplo

$$f(x):=\frac{|x|}x\implies\;\lim_{x\to 0}f(x)=\;\text{does not exist (check one sided limits), but}$$

$$\lim_{x\to 0}f(x^2)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2}=1\;\;\text{does exist}\;\ldots$$

La primera parte anterior es nada más que la prueba del hecho bien conocido que la función valor absoluto no es diferenciable en cero.

Answer 3

Considerar el $f(x) = \chi_{[0,\infty)}(x)$, la función característica del intervalo $[0,\infty)$.