¿Puede explicarlo de una manera concebible en el nivel de secundaria?
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El problema de la incompletitud de Gödel es que es tan abierto para las explotaciones y de los problemas una vez que no hacerlo completamente a la derecha. Usted puede probar y refutar la existencia de dios usando este teorema, así como la corrección de la religión y de su incorrección en contra de la corrección de la ciencia. El número de horrible argumentos llevado a cabo en el nombre de teorema de la incompletitud de Gödel es tan grande que ni siquiera podemos contar con todos ellos.
Pero si yo fuera a dar el teorema en pocas palabras, yo diría que si tenemos una lista de axiomas que se pueden enumerar con un ordenador, y estos axiomas son suficientes para desarrollar las leyes básicas de la aritmética, a continuación nuestra lista de axiomas no puede ser coherente y completa.
En otras palabras, si nuestros axiomas son consistentes, a continuación, en cada modelo de los axiomas no es una afirmación que es verdadera, pero no es demostrable.
Advertencias:
- Enumerar con un equipo significa que podemos escribir un programa (en un ideal de equipo) que va por encima de las cadenas posibles en nuestro alfabeto e identificar los axiomas en nuestra lista. El hecho de que el equipo es "ideal" y que no esté obligado por las cosas físicas como la electricidad, etc. es importante. Por otra parte, si usted está hablando a los niños de preparatoria que están menos familiarizados con los conceptos teóricos como eso, sería mejor hablar de ellos en primer lugar. O encontrar una manera de evitar eso.
- Por leyes básicas de la aritmética me refiero a la existencia de la función sucesor, la adición y la multiplicación. Los habituales símbolos pueden o no estar disponibles en el idioma sobre el que nuestros axiomas se escriben en. Este es otro buen punto el que un montón de gente a saltar, porque generalmente está claro matemático (aunque no siempre), pero de alto nivel de la escuela de la multitud puede ser vale la pena señalar que tenemos que ser capaces de definir estas operaciones y demostrar que se comportan de forma normal hasta cierto punto, pero no tenemos en nuestro idioma.
- Es muy importante hablar sobre lo que es "demostrable" y de lo "verdadero", siendo esta última en el contexto de una estructura específica. Eso es algo que los profesionales matemático puede cometer errores, especialmente a los menos capacitados, con la distinción del comprobable y verdadero (mientras sigue haciendo clásica de las matemáticas, más bien, algunos intuitionistic o constructivo de las matemáticas).
Ahora, probablemente voy a tratar de mantenerlo simple. MUY simple. Me gustaría hablar de los enteros en su modelo estándar, y me gustaría explicar el teorema de la incompletitud en el contexto de este modelo en particular, con una muy idioma especificado, incluyendo todos los símbolos.
En este caso podemos sencillo decir que si $T$ es una lista de axiomas en nuestro idioma, que podemos enumerar por un ideal de equipo, y todos los axiomas de $T$ son verdaderas en $\Bbb$ N, entonces hay algunas declaración $\varphi$, que es verdadero en $\Bbb$ N, pero no hay ninguna prueba de $T$ a la declaración $\varphi$.
(Incluso se puede simplificar las cosas mejor que requieren $T$ a ser cerrado bajo consecuencia lógica, en el que caso de que realmente nos acaba de decir que $\varphi\noen T$.)
mkoryak
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${\underline{Primero}}$: La declaración del teorema de Gödel(s) que requiere un poco de conocimiento de lo que los axiomas y las pruebas . Para conseguir realmente una buena sensación de lo que es esto, yo creo que uno necesitaría para trabajar con él. Así que es difícil dar una simple descripción de Gödel los teoremas de aquí de alguna manera corta. Uno casi seguro que dice algo que no es completamente (retruécano previsto) verdadero.
Puedo recomendar el libro Gödel de la Prueba por Nagel y Newman. También puedo recomendar el libro del Teorema de Gödel: Una Guía Incompleta para Su Uso y Abuso por parte de Torkel Franzén. Ambos de estos libros no son demasiado caros y son fáciles de leer. (Descargo de responsabilidad: yo no he leído todos los de Franzén del libro).
${\underline{Segundo}}: $Que dijo, esta es la forma en que yo iba a tratar de explicar la totalidad de la cosa. En la escuela secundaria y, con suerte, antes que aprender, por ejemplo, como sumar, restar, multiplicar y dividir números. Usted puede haber aprendido que los números son buenos para contar las cosas. Si usted tiene un negocio, usted puede usar los números para mantener un seguimiento de las ventas y para eso tenemos que ser capaces de "uso de las matemáticas" con los números.
Ahora, usted tiene probablemente también por ahora enteré de que hay reglas en matemáticas. Nosotros, por ejemplo, ahora que $4 + 7 = 7 + 4$. El orden no importa, cuando sumamos los números. Uno no puede, por ejemplo, la división por cero. Y así no es difícil entender cómo la matemática se construye por todas las reglas de cómo se le permite manipular los números.
Ahora, los matemáticos (y otras personas) han tratado de averiguar si es posible anotar una lista de axiomas y unas reglas de la lógica, que daría "todos nosotros" de las matemáticas. Nosotros, en particular, desean que los axiomas para "contener" a "de la aritmética básica" (creo que de la aritmética como hacer matemáticas con los números naturales). Un axioma es algo que damos por sentado. Es un poco como una definición en la que no tenemos que demostrarlo. Un axioma es verdadero porque lo digamos.
Con los axiomas que hemos (quiero) reglas para deducir cosas nuevas. A partir de los axiomas, que podría ser capaz de probar que algo es cierto o falso. (Si quieres ver algo concreto, usted podría buscar los "axiomas" de lo que es un grupo. Con estos "axiomas" uno puede escribir una prueba de que la llamada identidad es única. Así que aquí tienes un ejemplo donde se inicia con una definición y demostrar que un enunciado es verdadero).
Parte de lo que se quiere es que una declaración es verdadera o falsa. Si escribo la declaración de que $\pi = 22/7$, a continuación, que es una declaración falsa. Si escribo que $\sqrt{2}$ es irracional (como un número real), a continuación, que es una declaración verdadera. Podría no ser tan obvio. Así que, ¿cómo puedo demostrar que esto es cierto. Así, el uso de las reglas de la lógica puedo demostrar que a partir de los axiomas de la declaración de la siguiente.
Ahora, una pregunta: Ya que estamos diciendo que todas las afirmaciones son verdaderas o falsas, podemos, dado una declaración, siempre llegan a una prueba? Es decir, podemos demostrar que una afirmación es verdadera o falsa? Si es que (en teoría) se puede probar o refutar cualquier declaración, decimos que el sistema es completo. Nosotros, por supuesto, como un sistema completo.
Otra pregunta es: ¿Podemos demostrar que nuestro sistema de axiomas nunca va a conducir a una contradicción? Es decir, es posible que tengamos una declaración en la que podemos probar que es verdadera y falsa al mismo tiempo? Si esto no sucede, decimos que el sistema es consistente. Tener un sistema coherente es, por supuesto, esencial. Si una declaración existía, y que es a la vez verdadera y falsa, entonces usted puede probar que todas las declaraciones son verdaderas y falsas. Eso sería malo.
Y con estas dos preguntas es un problema localizado.
La respuesta es: es imposible escribir un sistema axiomático que, si bien es coherente también es completa.
Así que si, en el "diseño" de la axiomática del sistema queremos asegurarnos de que no podemos teoremas que son verdadero y falso al mismo tiempo, entonces vamos a tomar declaraciones a las que no podemos escribir una prueba de. Tendremos declaraciones/teoremas en el que no podemos decidir si la afirmación es verdadera o falsa. En realidad vamos a tener manifestaciones que podemos demostrar que no podemos probar.
MJD
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No estoy seguro de que vale la pena agregar otra discusión, pero el siguiente a la presentación del teorema de Gödel, debido a Raymond Smullyan, es extremadamente simple. Supongamos que usted tiene algún tipo de máquina para la impresión de las declaraciones acerca de las cosas. La máquina podrían ser algunos de los matemáticos del sistema, y en lugar de "imprimir" las declaraciones que contiene los métodos para "probar" las declaraciones. O podría ser un literal de la máquina que imprime realmente declaraciones en un largo rollo de papel. Incluso podría ser un top de seda sombrero que contiene un trozo de papel con las reclamaciones por escrito en ellos. Sea lo que sea, vamos a llamar a $\def\M{\mathcal M}\M$, "matemáticas" o "máquina". (O "matemático"!)
Ahora supongamos que entre las declaraciones que $\M$ podría, o no, de impresión, de alegar, probar, o contienen, son declaraciones en las formas siguientes, con las siguientes interpretaciones:
$$ \begin{array}{rl} \mathtt{P*}x & \text{"La máquina $\M$ print $x$"} \\ \mathtt{NP*}x & \text{"La máquina $\M$ no escribir $x$"} \\ \mathtt{PR*}x & \text{"La máquina $\M$ print $xx$"} \\ \mathtt{NPR*}x & \text{"La máquina $\M$ no impresión $xx$"} \end{array} $$
Por ejemplo, $\mathtt{P*FOOFOO}$ significa que $\M$ en algún momento print $\mathtt{FOOFOO}$. $\mathtt{PR*FOO}$ que significa lo mismo.
Nos gustaría encontrar alguna aplicación de $\M$ que imprime todos los posibles enunciados verdaderos. (O, si es un sombrero, debe contener trozos de papel con todos los enunciados verdaderos.) Por desgracia, es el caso de que $\M$ que imprime todos los enunciados verdaderos también debe imprimir algunas declaraciones falsas también. O por el contrario, todo $\M$ que imprime sólo las declaraciones verdaderas deben fallar para imprimir algunas declaraciones verdaderas. Esto no es difícil de ver: acaba de preguntar si $\M$ imprime $\mathtt{NPR*NPR*}$. Esta es una afirmación que $\M$ ¿ no impresión $\mathtt{NPR*NPR*}$. Si $\M$ no en el hecho de impresión $\mathtt{NPR*NPR*}$, se ha impreso una falsa afirmación. Por otro lado, si $\M$ no $print\mathtt{NPR*NPR*}$, entonces $\mathtt{NPR*NPR*}$ es verdadera y $\M$ ha no se ha podido imprimir la verdadera afirmación de $\mathtt{NPR*NPR*}$.
Hasta ahora todo es bastante simple. El golpe de genio (y la difícil detalles) en el teorema de Gödel es que la aritmética es lo suficientemente expresivo para ser capaz de expresar de $\mathtt{NPR*}x$. Esto significa que cualquier máquina (o sistema) $\M$ que es capaz de expresar ciertas aritmética simple de las propiedades también es capaz de expresar la propiedad $\mathtt{NPR*}x$, que afirma que $xx$ no será producida por $\M$ sí; a continuación, puede expresar un complejo de instrucción de aritmética que equivale a la afirmación de $\mathtt{NPR*NPR*}$. Si imprime este complejo declaración $\mathtt{NPR*NPR*}$ se ha impreso una falsedad; si se produce un error de impresión de la instrucción compleja, no ha logrado imprimir una verdad.
Por lo tanto, no hay ninguna máquina que puede imprimir todos los enunciados verdaderos de la aritmética, a menos que también imprime algunas declaraciones falsas de la aritmética (porque una de ellas es de $\mathtt{NPR*NPR*}$, que dice: "esta máquina nunca se imprime $\mathtt{NPR*NPR*}$"); no hay ningún sistema lógico que puede demostrar todos los enunciados verdaderos de la aritmética, a menos que también demuestra algunas declaraciones falsas de la aritmética (porque una de ellas es de $\mathtt{NPR*NPR*}de dólares, lo que significa que "este sistema no puede probar que $\mathtt{NPR*NPR*}$"); no es de seda, sombrero de copa que contiene un trozo de papel con todas las verdades de la aritmética, a menos que también contiene algunos resguardos con declaraciones falsas (porque una de ellas es de $\mathtt{NPR*NPR*}$, que significa "el sombrero no contiene un resbalón que dice $\mathtt{NPR*NPR*}$"), y así sucesivamente.
No es en absoluto evidente que una fórmula aritmética podría existir, que de alguna manera expresa $\mathtt{NPR*NPR*}$ para una máquina en particular $\M$, pero esa es la parte técnica de la prueba, y es por ello que Gödel es considerado un genio.
Njax3SmmM2x2a0Zf7Hpd
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Asaf, como siempre sensible, da una buena respuesta, sobre algunos conceptos básicos: para algunos la amplificación y más ideas, puedes descargar el primer capítulo de mi libro sobre Gödel los Teoremas de Incompletitud en http://www.logicmatters.net/igt/
Esta es sin duda la intención de ser accesible sin grandes conocimientos de fondo (usted sólo necesita saber que la negación signo '$\neg$", se puede leer 'no es el caso que'), y le dice en términos informales lo que los Teoremas decir. Así que darle una oportunidad ... este primer capítulo está a sólo siete páginas!
Michael Hardy
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Una cosa que no se ha subrayado suficientemente en las cuentas de muchos (aunque esto puede haber mejorado en los últimos años) es la conexión con la computabilidad.
En matemáticas, la corrección de una propuesta de prueba puede ser comprobado por muy algoritmos eficientes.
En realidad encontrar una prueba está en ninguna parte cerca tan fácil como comprobar su corrección después de que se encontró.
Esto es esencial porque si uno no insistir en la algorítmica de la prueba de comprobación, entonces uno podría decidir cada pregunta de la siguiente manera: que cada declaración verdadera en la aritmética de ser un axioma. A continuación, cada declaración verdadera prueba podría decir que "Esto es un axioma. Qvod brindamos demonstrandvm. ${}\ \ \blacksquare\ {}$"
El "lenguaje de la aritmética" puede expresar cosas como "Todo número par mayor que $2$ es una suma de dos números primos."
El teorema de Gödel dice que usted no puede tener un sistema de prueba para la cual no es una prueba de comprobación de algoritmo, y que demuestra sólo frases que son verdaderas de los números naturales, a menos que hay algunas frases en el lenguaje de la aritmética que no se puede probar o refutar dentro de ese sistema.
