racionalidad de $\ell$-adic representación adjunta a una curvas elípticas

Question

Deje $E$ ser una curvas elípticas definidas sobre un campo de número de $K$. Considere la posibilidad de la $\ell$-ádico representación adjunta a $E$

$$ \rho_{\ell}:\mathrm{Gal}(\overline{K}/K) \longrightarrow \mathrm{Aut}(V_{\ell})$$

Con $\overline{K}$ algebraica de cierre de $K$ $V_{\ell}=T_{\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell}$ $T_{\ell}$ la Tate módulo de $E$.

Mi pregunta es: ¿por qué la representación de $\rho_{\ell}$ es racional?

El criterio de Néron-Ogg-Shafarevich entiendo que para todo lugar finito $v$ tal que $v$ no divide $\ell$ $E$ tiene una buena reducción en$v$, $\rho_{\ell}$ es unramified. En particular, el conjunto finito de lugar de $K$ donde $E$ tiene una mala reducción es finito y se denota con a $S_{\mathrm{bad}}$. Por lo tanto, si $S_{\ell}$ denota el conjunto finito de lugar que no se dividen $\ell$, entonces para todo lugar finito $v\notin S_{\mathrm{bad}}\cup S_{\ell}$ tenemos $\rho_{\ell}$ es unramified y $S_{\mathrm{bad}} \cup S_{\ell}$ es finito.

Pero no entiendo por qué los coeficientes del polinomio $\mathrm{det}(1-F_{v,\rho_{\ell}}T)$ son racionales, donde $T$ es indeterminado y $F_{v,\rho_{\ell}}$ es la clase conjugacy en $\mathrm{Aut}(V_{\ell})$ de $\rho_{\ell}(F_{w})$, $F_w$ el Frobenius elemento correspondiente a un lugar $w$ $\overline{K}$ extender $v$.

Escribo un razonamiento que he hecho:

Si E tiene una buena reducción en$v$$v \nmid \ell$ , entonces tengo el isomorfismo $E[\ell](K) \simeq \widetilde{E}[\ell](k_v)$ donde $k_v$ es el residuo campo de la finalización de $K$ con respecto al $v$. Por lo tanto la acción de $\rho_{\ell}(F_w)$ $E[\ell](K)$ corresponden a la Frobenius endomorfismo $\phi$$\widetilde{E}[\ell](k_v)$.

Desde $\mathrm{det}(1-F_{v,\rho_{\ell}})=\mathrm{det}(1-\rho_{\ell}(F_{w}))= 1-\mathrm{Tr}(\rho_{\ell}(F_{w}))T + \mathrm{det}(\rho_{\ell}(F_{w}))T^2$, puedo deducir de mi razonamiento de que $\mathrm{Tr}(\rho_{\ell}(F_{w}))=\mathrm{Tr}(\phi)$$\mathrm{det}(\rho_{\ell}(F_w))=\mathrm{det}(\phi)$?

Si es verdad entonces hemos terminado debido a que el polinomio característico sería $1-\mathrm{Tr}(\phi)T+\mathrm{det}(\phi)T^2$, por lo que sería independiente de$\ell$, y se sabe que $\mathrm{Tr}(\phi),\mathrm{det}(\phi)$ son enteros (cf. Silverman "la aritmética de curvas elípticas", cap. V, teorema 2.3.1)

Answer 1

Creo que me puede ayudar a aclarar dos puntos de confusión en su pregunta.

En un momento has cambiado de trabajo con $T_\ell(E)$ a de trabajo con $E[\ell]$. Por lo que su Frobenius está actuando en una característica $\ell$ objeto, por lo que su polinomio característico no puede ser una característica $0$ cosa. Usted realmente necesita para trabajar $\ell$-adically si desea que la racionalidad declaración sentido.

La primera parte de lo que estamos tratando de hacer para identificar el polinomio característico de una Frobenius en un unramified prime $p$ actuando en $V_\ell(E)$ con el polinomio característico de la (campo finito!) Frobenius actuando en $V_\ell(\overline{E})$ donde $\overline{E}$ es la reducción de $E$ mod $p$. La observación de que ahora tiene sentido afirmar que estas dos características polinomios son iguales porque ambos son polinomios en $\mathbb Q_\ell[T]$. Demostrando que estos dos polinomios son iguales no es difícil; esencialmente se reduce al hecho de que $V_\ell(E) \cong V_\ell(\overline E)$ como módulos a través de la descomposición de grupo en $p$ (porque la representación es unramified en $p$).

La parte difícil es, en realidad, a continuación, probar (como en Silverman) que el polinomio característico de Frobenius en $V_\ell(\overline{E})$ es racional. Esta es una afirmación puramente acerca de $\overline E$ y no tener nada que ver con el mundial de campos.