Demostrar o refutar: Si $f$ es Riemann integrable en $[0,1]$, entonces también lo es $\sin(f)$

Question

Me encantaría tu ayuda con la siguiente pregunta: Necesito demostrar o refutar la afirmación de que para una función Riemann integrable $f$ en $[0,1]$, también $\sin(f)$ es integrable en $[0,1]$.

Mi traducción para esta afirmación: Si $\int_{0}^{1} f(x) dx < \infty$, entonces también $\int_{0}^{1} \sin(f(x))dx < \infty, ¿Estoy en lo correcto?

Intenté pensar en una función elemental que cumpla con las condiciones, una que explote en $0$ o $1$ o en ambos, pero no encontré ninguna. ¿Puedo simplemente usar el hecho de que $\int_{0}^{1} \sin(f(x))dx \leq \int_{0}^{1} 1dx < \infty$ y ya está o ¿Me estoy perdiendo algo?

¡Gracias!

Answer 1

Dado que la función seno es $1$-Lipschitz continua, la diferencia entre las sumas de Darboux superiores e inferiores basadas en una subdivisión puntual dada para $\sin(f)$ es a lo sumo la diferencia entre las sumas de Darboux superiores e inferiores basadas en la misma subdivisión puntual para $f$. Dado que $f$ es Riemann-integrable, esta última puede hacerse tan pequeña como se desee. Por lo tanto, la primera también puede hacerse tan pequeña como se desee, lo que es equivalente a la integrabilidad de Riemann de $\sin(f)

Answer 2

No creo que tu traducción sea correcta (a menos que quisieras decir integrable según Lebesgue, y no de Riemann). El concepto de integrable por Riemann e integrable por Lebesgue no son iguales.

Integrable por Riemann: $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$, $-\infty

Integrable por Lebesgue: $f\colon E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $E$ conjunto medible según Lebesgue, $f$ medible según Lebesgue y $\int_E|f|<\infty$.

Hay varias maneras de demostrar que si $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ es integrable por Riemann, entonces lo es $\sin(f)$. La forma más sencilla es utilizar el siguiente hecho: una función acotada $g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ es integrable por Riemann si y solo si el conjunto de puntos donde $g$ es discontinua tiene medida $0$.

Primero, está claro que $\sin(f)$ está acotada. Dado que $\sin$ es una función continua, $$ \{x\in[0,1]:\sin(f)\text{ es discontinua en }x\}\subset\{x\in[0,1]:f\text{ es discontinua en }x\}. $$ Como $f$ es integrable por Riemann, el conjunto del lado derecho tiene medida $0$, y también lo tienen todos sus subconjuntos.

Answer 3

Suponiendo que te refieres a Riemann integrable en todas partes, recuerda:

$f$ es Riemann integrable sobre $[a,b]$ si y solo si $f$ está acotada y para todo $\epsilon>0$, existe una partición de $[a,b]$ tal que $U_f(a,b) - L_f[a,b]<\epsilon$, donde $U_f$ y $L_f$ son respectivamente las sumas superiores e inferiores de Riemann de $f$ correspondientes a la partición.

Por lo tanto, para mostrar que $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ debes demostrar que está acotada, y debes mostrar que se cumple la condición anterior en cuanto a las sumas superiores e inferiores. Para esto, puedes argumentar como en la respuesta de Didier Piau. (alternativamente, consulta la respuesta de Julián Aguirre).

Tu argumento es incorrecto, porque básicamente estás asumiendo que la expresión $\int_a^b \sin(f(x))\,dx$ tiene sentido desde el principio.

Es fácil demostrar que $\sin(f(x))$ está acotado; pero para mostrar que es integrable, no puedes escribir inmediatamente "$\int_a^b \sin(f(x))\,dx<\infty$". O bien $\sin(f(x))$ es integrable, en cuyo caso la integral definida es finita, o no lo es, en cuyo caso la expresión $\int_a^b \sin(f(x))\,dx$ no tiene un significado válido.