Creo que tengo que mostrar es conectado, pero no puede averiguar las funciones de ruta de acceso explícitamente. ¿Alguien puede dar estos mapas de ruta?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Cómo mostrar la ruta de conexión de $GL(n,\mathbb{C})$ (5 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Te voy a dar dos pruebas, una ingenuos, y una mancha de uno que se basa en un especial sobre determinados Mentira grupos:
Prueba 1 no Es difícil encontrar un camino de $B(t)$ $GL(n, \mathbb{C})$ que se conecta a un arbitrario Jordan-forma de la matriz $J$ con un valor distinto de cero autovalores de la matriz de identidad $I$: Para una matriz diagonal $J$ entradas $\lambda_a$, uno simplemente puede elegir cualquiera de las rutas de $\gamma_a$ $\mathbb{C} - \{0\}$ (que en particular es el camino-conectado) tal que $$\gamma_a(0) = 1 \qquad\text{and}\qquad \gamma_a(1) = \lambda,$$ así que $$B(t) = \text{diag}(\gamma_1(t), \ldots, \gamma_n(t))$$ satisfies $$B(0) = I \qquad\text{and}\qquad B(1) = J.$$ Note that $\det B(t) = \prod \gamma_a(t) \neq 0$, so the image of $B(t)$ is indeed contained in $GL(n, \mathbb{C})$.
Si $J$ no es diagonal, uno puede formar el camino de $B(t)$ que: (a) como anteriormente se conecta $I$ a la matriz $J'$ con la misma diagonal entradas como $J$ pero ceros en otros lugares y, a continuación, (b) se conecta $J'$ $J$por un segmento de línea en $M(n, \mathbb{C})$. El factor determinante es constante en el último segmento, y de nuevo $B(t)$ está contenido en $M(n, \mathbb{C})$.
Ahora, dada cualquier matriz $A \in GL(n, \mathbb{C})$, su forma de Jordan de descomposición $A = P^{-1} J P$, y tome $B(t)$ a ser una curva como la de arriba. Entonces, la curva de $$\Gamma: t \mapsto P^{-1} B(t) P$$ satisfies $$\Gamma(0) = P^{-1} B(0) P = P^{-1} I P = I\\ \Gamma(1) = P^{-1}B(1) P = P^{-1}JP = A.$$ Por lo tanto, cada punto en $GL(n, \mathbb{C})$ puede ser conectado a $I$ con una ruta de acceso, y por lo tanto el espacio es el camino-conectado.
Prueba 2 se puede demostrar que el mapa exponencial $\exp: \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C}) \to GL(n, \mathbb{C})$ es surjective. Así que, para cualquier $A \in GL(n, \mathbb{C})$ hay un elemento $a \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})$ tal que $\exp a = A$. Entonces, la curva de $\Gamma: t \mapsto \exp(at)$ satisface $\Gamma(0) = \exp(a \cdot 0) = \exp 0 = I$$\gamma(1) = \exp (a \cdot 1) = \exp a = A$.
