Estoy tratando de probar que los polinomios generalizados de Laguerre forman una base en el % de espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$. 1. ortonormal\begin{equation} \int_0^{\infty} e^{-x}x^kL_n^k(x)L_{m}^k(x)dx=\dfrac{(n+k)!}{n!}\delta_{mn} \end{equation} 2. ¿Integridad (?)\begin{equation} \sum_{n=0}^{+\infty}L_n^k(x)L_{n}^k(y)=?\delta(x-y) \end{equation} estoy teniendo problemas con la segunda relación, alguien puede dar una referencia donde se prueba o indicio para una prueba?
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Martin
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La integridad de un ortogonales secuencia de funciones es un poco complicado en sin límites de los intervalos, mientras que es relativamente sencillo en intervalos acotados. En el caso de Laguerre y Hermite polinomios, hay un buen truco debido a von Neumann, que permite la reducción a intervalos acotados.
Parece haber un poco de confusión sobre el intervalo en el estado de la cuestión. He aquí una afirmación correcta:
Para cualquier número real $\alpha \gt -1$ funciones $\langle e^{-x/2} x^{\alpha/2} L_{n}^{(\alpha)}(x)\rangle_{n=0}^\infty$ obtenido a partir de los polinomios de Laguerre $L_{n}^{(\alpha)}(x)$ son un completo sistema ortogonal en $L^2(0,\infty)$. Los polinomios de Hermite $H_n(x)$ el rendimiento de la completa ortogonal de sistema de $\langle e^{-x^2/2} H_n(x)\rangle_{n=0}^\infty$$L^2(\mathbb{R})$.
Esto queda demostrado en detalle en el libro clásico de Gábor Szegő, polinomios Ortogonales, en el Capítulo 5. Todo el capítulo se analizan las principales propiedades de la oft, los polinomios de Laguerre $L^{(\alpha)}_n(x)$ por un número real arbitrario $\alpha \gt -1$ y demuestra su integridad en la Sección 5.7.
Más precisamente, Szegő muestra en el Teorema de 5.7.1 en las páginas 108f que fija $\alpha \gt -1$ funciones $f_n(x) = e^{-x/2}x^{\alpha/2} x^n$ abarcan un subespacio denso de $L^2(0,\infty)$.
La primera idea es usar un cambio de variables $y = e^{-x}$ con el fin de utilizar el caso de $L^2(0,1)$ donde la densidad del intervalo de $(\log1/y)^{\alpha/2} y^n$ no es demasiado difícil de demostrar (véase el Teorema 3.1.5).
Escribir una función en $L^2(0,\infty)$$e^{-x/2} x^{\alpha/2} f(x)$. Entonces tenemos que $(\log1/y)^{\alpha/2} f(\log(1/y)) \in L^2(0,1)$ puede ser aproximada por las funciones de la forma $(\log1/y)^{\alpha/2} p(y)$ donde $p$ es un polinomio. La transformación de regreso a $(0,\infty)$ esto demuestra que $$ \int_{0}^\infty e^{-x} x^\alpha (f(x) - p(e^{-x}))^2 \,dx \lt \varepsilon $$ para un adecuado polinomio $p$. Esto reduce la tarea de demostrar que para todo natural $k$ existe un polinomio $q$ tal que $$\tag{$\ast$} \int_{0}^\infty e^{-x} x^\alpha (e^{-kx} - q(x))^2\,dx $$ es tan pequeño como se desee.
Para ello, von Neumann truco es usar la función de la generación de de los polinomios de Laguerre $L_{n}^{(\alpha)}(x)$ $$ (1-w)^{-\alpha-1} \exp\left(-\frac{xw}{1-w}\right) = \sum_{n=0}^\infty L_n^{(\alpha)}(x) w^n. $$ La elección de $w = \frac{k}{k+1}$ tenemos $\exp\left(-\frac{xw}{1-w}\right) = \exp{(-kx)}$.
Por lo tanto, una elección natural para $q$ $q_N(x) = (1-w)^{\alpha+1} \sum_{n=0}^N L_n^{(\alpha)}(x) w^n$ con lo suficientemente grande como $N$. Conectando a $(\ast)$ obtenemos el uso de la ortogonalidad de las relaciones $$ \begin{align*} \int_{0}^\infty e^{-x} x^\alpha (e^{-kx} - q_N(x))^2\,dx & = (1-w)^{2\alpha+2} \int_{0}^\infty e^{-x} x^\alpha \left(\sum_{n=N+1}^\infty L_{n}^{(\alpha)}(x) w^{n}\right)^2\,dx \\ &= (1-w)^{2\alpha+2} \Gamma(\alpha+1) \sum_{n=N+1}^\infty \binom{n+\alpha}{n} w^{2n} \end{align*}$$ cuando los sabios de la integración se justifica el uso de una aplicación de Cauchy-Schwarz. Queda por observar que la última expresión tiende a $0$$N \to \infty$.
Otra referencia de hablar sobre el caso de $\alpha = 0$ bien es Courant y Hilbert, los Métodos de la física matemática, I, §9, secciones 5 y 6. Se discute ordinario de Laguerre y Hermite polinomios y su integridad.
