Demostrar que una función es constante cuando $f(x)f(y) + f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y}) = 2f(xy)$

Question

He estado trabajando en el siguiente problema de deberes:

Considere una función $f : (0,∞) → \mathbb{R}$ y un número real $a > 0$ tal que $f(a) = 1$ . Demostrar que si $f(x)f(y) + f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y}) = 2f(xy)$ para todos $x, y ∈ (0,∞)$ entonces $f$ es una función constante.

He seguido varios pasos y he podido derivar las dos relaciones siguientes:

$f(x) = f(\frac{a}{x}) = \frac{1}{f(\frac{1}{x})}$ (A la inversa, $f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{f(x)}$ )

$f(1) = 1 = f(a)$

Pero ahora estoy atascado. Creo que estoy cerca, pero no puedo averiguar cómo hacer el salto para mostrar cómo esto implica que la función es constante. ¿Puede alguien indicarme el siguiente paso?

Answer 1

Usted ya tiene $f(x) = f(a/x)$ , ahora usa $f(x)f(a/x) + f(a/x)f(x) = 2f(a) = 2$ para obtener $f(x)f(a/x) = f(x)^2 = 1$ . De ello se desprende que $f(x)=\pm 1$ para cualquier $x$ , por lo que sólo tenemos que mostrar $f(x) \ne -1$ .

De hecho, podemos demostrar que $f(x) \ge 0$ con un bonito truco: es igual a la suma de dos números no negativos. ¿Puedes ver cómo? (Pista: los cuadrados son siempre no negativos).

Answer 2

Sí, se debe a la naturaleza ondulante como se ha mencionado "que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de la materia de todos los objetos cuánticos" en https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle .

Tiene sentido que para nosotros, los observadores, la incertidumbre sea natural a niveles cuánticos. Sin embargo, algunos piensan que ni siquiera la naturaleza conoce los valores con certeza. Yo no creo que eso sea cierto. Si la naturaleza no lo supiera con certeza, entonces se violarían las leyes de conservación, irremediablemente, no sólo de forma intermitente.