Una falsa desigualdad integral

Question

Tengo un problema que creo que se equivoca.

Que $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ ser un diferenciable la función $f'$ continua tal que % $ $$\int_a^b f(x) d x = f\left(\frac{a+b}{2}\right) = 0$

Demostrar que %#% $ #%

¿Si es correcta, usted me puede mostrar su solución? ¿Otra cosa, pueden arreglarlo?

Answer 1

En primer lugar, la propuesta de la desigualdad es totalmente equivocado. En efecto, considerar la posibilidad de $$f : [-1, 1] \to \mathbb{R}, f(x) = 18 |x|^{13/5} - 11 |x|^{6/5}$$ (por lo $a = -1, b = 1$.) Claramente $f$ tiene una primera derivada continua, y es sencillo comprobar que $$\renewcommand{\intd}{\,\mathrm{d}} \int_{-1}^1 f(x) \intd x = 0 = f(0)$$ mientras que $$A = \int_{-1}^1 \big(f'(x)\big)^2 \intd x - 2\big(f(-1) + f(1)\big)^2 = \frac{608}{35} \approx 17.37$$ y $$B = 2 \int_{-1}^1 \big(f(x)\big)^2 \intd x = \frac{11270}{527} \approx 21.385$$ Así, la propuesta de la desigualdad que está mal.

Una Familia de Posibles Correcciones.

Considere una función de $f : [-1, 1] \to \mathbb{R}$ tal que $$\int_{-1}^1 f(x) \intd x = 0 = f(0)$$ Tenga en cuenta que $$\renewcommand{\defeq}{~{\buildrel{\rm def}\over =}~} \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}} Un \defeq f(1) + f(-1) = \int_{-1}^1 \sgn(x) f'(x) \intd x$$ Deje $\lambda$ ser una constante real. Ahora tenemos $$\int_{-1}^1 \big(f(x) - \lambda A\big)^2 \intd x = \int_{-1}^1 \big(f(x)\big)^2 \intd x + \lambda^2 A^2 \tag{1}$$ debido a $\int_{-1}^1 f(x) \intd x = 0$. En el otro lado $$f(x) - \lambda A = \int_0^x f'(t) \intd t - \lambda \int_{-1}^1 \sgn(t) f'(t) \intd t = \int_{-1}^1 K(x,t) f'(t) \intd t$$ donde $K(x,t)$ se define como sigue:

• Si $x\geq 0$, $$K(x,t) = \begin{cases} \lambda & t \leq 0 \\ 1 - \lambda & 0 < t \leq x \\ -\lambda & x < t \leq 1 \end{casos}$$
• Si $x< 0$, $$K(x,t) = \begin{cases} \lambda & t \leq x \\ \lambda - 1 & x < t \leq 0 \\ -\lambda & 0 < t \end{casos}$$

Por lo tanto, el uso de Cauchy-Schwarz desigualdad, $$\big(f(x) - \lambda A\big)^2 \leq \int_{-1}^1 \big(K(x,t)\big)^2 \intd t \int_{-1}^1 \big(f'(t)\big)^2 \intd t$$ Así, $$\int_{-1}^1 \big(f(x) - \lambda A\big)^2 \intd x \leq \int_{-1}^1 \left(\int_{-1}^1 \big(K(x,t)\big)^2 \intd t\right) \intd x \cdot \int_{-1}^1 \big(f'(t)\big)^2 \intd t$$ Los cálculos no son difíciles y tenemos $$\int_{-1}^1 \left(\int_{-1}^1 \big(K(x,t)\big)^2 \intd t\right) \intd x = 1 - 2 \lambda + 4 \lambda^2$$ Que es $$\int_{-1}^1 \big(f(x) - \lambda A)^2 \intd x \leq (1 - 2 \lambda + 4 \lambda^2) \cdot \int_{-1}^1 \big(f'(t)\big)^2 \intd t \tag{2}$$ La combinación de $(1)$$(2)$, finalmente,

$$ \int_{-1}^1 \big(f(x)\big)^2 \intd x + \lambda^2 \big(f(1) + f(-1)\big)^2 \leq (1 - 2 \lambda + 4 \lambda^2) \cdot \int_{-1}^1 \big(f'(t)\big)^2 \intd t \etiqueta{3} $$

Por ejemplo, si $\lambda = 1/4$, obtenemos $$\int_{-1}^1 \big(f(x)\big)^2 \intd x + \frac{1}{16}\big(f(1) + f(-1)\big)^2 \leq \frac{3}{4} \cdot \int_{-1}^1 \big(f'(t)\big)^2 \intd t$$

Observación. El caso de una función de $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ se obtiene aplicando el caso anterior a $g(x) = f\left(\frac{a + b}{2} + x \frac{b-a}{2}\right)$.

Observación. De hecho, hay una forma más sutil razón por la que la propuesta de la desigualdad no puede ser cierto. Considerar para $a < b$ y una función de $f$ continuo con derivados en $[a,b]$ la cantidad $$\Delta(a, b; f) = \int_a^b \big(f'(x)\big)^2 \intd x - 2 (f(a) + f(b))^2 - \frac{8}{(b-a)^2} \int_a^b \big(f(x)\big)^2 \intd x$$ Ahora, para $\lambda > 0$ $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ definimos $f_\lambda$ la función definida en $\left[\frac{a}{\lambda}, \frac{b}{\lambda}\right]$ por $f_\lambda(x)=f(\lambda x)$. Con esta notación tenemos $$\Delta\left(\frac{a}{\lambda}, \frac{b}{\lambda}; f_\lambda\right) = \lambda \Delta(a, b; f) + 2 (\lambda - 1) \big(f(a) + f(b)\big)^2$$ Por lo tanto, si $f(a) + f(b) \ne 0$, siempre hay $\lambda, \Lambda > 0$ donde la desigualdad se cumple para $f_\lambda$ y no se sostiene por $f_\Lambda$.

Answer 2

Respuesta de Omran Kouba es muy buena, pero aquí es un contraejemplo tal vez más simple. Entonces$ de $$f:[-2,2]\to\mathbb{R},\quad f(x)=x^2(x^2-12/5).$, $$\int_{-2}^2f(x)dx=f(0)=0,$ $ sino %#% $ #%