Un análogo del teorema chino del resto para grupos

Question

Intento demostrar el siguiente análogo del teorema del resto chino para grupos:

Dejemos que $G$ sea un grupo y que $H_1, \dots, H_n$ sean sus subgrupos normales tales que sus índices $[G : H_1], \dots, [G : H_n]$ son coprimas entre sí. Entonces tenemos $$G/(H_1 \cap \cdots \cap H_n) \cong G/H_1 \times \cdots \times G/H_n.$$

Creo que una buena estrategia sería intentar demostrar que la cartografía $\phi$ definido por $$\phi(g(H_1 \cap \cdots \cap H_n)) = (gH_1, \dots, gH_n)$$ es un isomorfismo, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

La estrategia que tiene no es la más rigurosa (por qué es $\phi$ bien definida ¿por qué? $\phi$ un morfismo de grupo). Yo sugeriría empezar con :

$$\psi:G\rightarrow G/H_1\times \dots\times G/H_n$$

$$g\mapsto (gH_1,\dots, gH_n)$$

Se trata de un morfismo de grupo, que será factorizado por $H_1\cap\dots \cap H_n$ y esto demostrará al mismo tiempo (y con rigor) que $\phi$ está bien definida, es un morfismo de grupo y es unívoca.

Claramente $Ker(\psi)=H_1\cap\dots\cap H_n$ . De hecho, $\psi(g)$ es trivial si para todo $1\leq i\leq n$ tenemos $gH_i=H_i$ si para todo $1\leq i\leq n$ $g\in H_i$ .

Por lo tanto, $\psi$ factores a través de $H_1\cap\dots\cap H_n$ por :

$$\phi:G/H_1\cap\dots \cap H_n\rightarrow G/H_1\times \dots\times G/H_n$$

$$g H_1\cap \dots \cap H_n\mapsto (gH_1,\dots, gH_n)$$

Hay que tener en cuenta que no he utilizado el hecho de que los índices sean coprimos entre sí. Por supuesto, lo utilizaremos para demostrar que $\phi$ está en. Denotemos $d_i:=[G:H_i]$ . Denote $H:=H_1\cap\dots \cap H_n$ .

Obsérvese que :

$$[G:H]=[G:H_i][H_i:H]=d_i[H_i:H]$$

Por lo tanto, $d_i$ divide $[G:H]$ para todos $i$ ya que son coprimas por pares, su producto también divide a $[G:H]$ . Diciendo $d:=d_1\dots d_n$ conseguimos que :

$$d\text{ divides } |G/H|$$

Pero $G/H$ es isomorfo a $Im(\phi)$ incluido en $G/H_1\times\dots G/H_n$ que es de cardenal $d_1\times\dots\times d_n=d$ así que $|Im(\phi)|=d$ y $\phi$ está en.