Prueba $\sum \binom nk 2^k = 3^n$ utilizando el teorema del binomio

Question

Estoy estudiando para un parcial y necesito ayuda con demostrando suma usando el teorema del binomio.

$\sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} 2^k = 3^n$

Esto es lo que estoy pensando hasta ahora: en el teorema del binomio que x = 0 e y = 2, entonces:

$3^n = (x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} y^k$

$ = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} 2^k$

¿Estoy recibiendo esta correcto hasta ahora o totalmente malo? Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias.

Answer 1

No se muy bien si $x=0$$y=3$, entonces usted tendría $3^n=y^n$ que no es lo que quieres. Si establece $x=0$ $y=2$ tendría $2^n = y^n$.

Compare esto con el teorema del binomio,

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k}y^k $$

Observe que si $x=1$ $y=1$ tenemos,

$$ 2^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} $$

Observe que si $x=6$ $y=-4$ tenemos,

$$(2)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 6^{n-k}(-4)^k $$

• Lo que los valores de $x$ $y$ tiene el fin de obtener un $3^n$ en la izquierda?
• Lo que los valores de $x$ $y$ tiene el fin de obtener un $2^k$ en la suma?

Si usted puede encontrar los valores de $x$ $y$ que satisfacer a ambas preguntas, entonces usted ha resuelto el problema.

Motivación:

Usted adivinaron correctamente x=1 y y=2.

Que yo sepa no hay ningún tipo de aproximación algorítmica que va a resolver este tipo de problema. De hecho, esta es una gran herramienta para la enseñanza de habilidades de resolución de problemas porque implica pensar acerca de un problema desde diferentes ángulos sin un principio claro camino hacia la solución.

Cuando se mira en un problema, primero debe escribir y examinar cada pieza. Tuvimos $$ 3^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k } y^k $$

La primera cosa que se me ocurre al mirar esto es que tenemos los coeficientes binomiales. Esto sugiere que podemos encontrar una mayor comprensión de por mirar el teorema del binomio.

$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k } x^{n-k} y^k $$

La comparación de la declaración de el teorema del binomio para nuestro problema nos damos cuenta de que ambos tienen un resumen con los coeficientes binomiales igual a la potencia de un número. En primer lugar vamos a comparar los resultados de los respectivos sumarios.

$$ 3^n \qquad (x+y)^n $$

Vemos que en un caso tenemos el número de $3$ elevado a la $n$'th poder y en el otro caso tenemos el número de $x+y$ elevado a la $n$'th poder. Tenemos la sospecha de que estos números tienen que ser el mismo para el teorema del binomio para ser útil en la solución del problema. Sin embargo, hay dos grados de libertad en el segundo número en la forma de las variables $x$ $y$ esto significa que no existe un único $(x,y)$ par que se va a producir un $3$ cuando se suman. Nota (-1,4),(0,3),(1,2),(103,-100), etc. todos se suman a tres.

Esto significa que tenemos sólo parcialmente determinado la solución mediante la comparación de los resultados de las sumatorias. Para limitar la búsqueda a una solución comparamos los sumandos.

$$ {n \choose k } 2^k \qquad { n \choose k } x^{n-k}y^k $$

Ambos términos tienen las mismas de los coeficientes binomiales lo que significa que podemos ignorar. Uno tiene los poderes de un solo número, $2$, el otro tiene poderes de nuestro variables$x$$y$. Nos damos cuenta de que $2$ $y$ se plantearon a la$k$, mientras que de $x$ es elevado a la $n-k$. Esto nos sugiere que puede ser útil asociar $y$$2$. Si hiciéramos esta podríamos decir que creemos $y=2$, pero aún no tienen la confianza de que el valor de $x$ debe tener.

El pensamiento de regreso, nos recuerda que uno de los pares de posibles $x$ $y$ valores $(1,2)$ esto es esperanzador, ya que identifica a $y=2$, tal y como deseamos. Si $x=1$ no causa ningún problema que vamos a tener resuelto el problema.

Examinar el teorema binomial con $(1,2)$ vemos que,

$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k } x^{n-k} y^k $$

$$ (1+2)^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k } (1)^{n-k} (2)^k $$

$$ 3^n = \sum_{k=0}^n { n \choose k } (2)^k $$

Cual es la identidad que quería establecer.

En este punto, sabemos que el camino a través del bosque. La solución es : Evaluar el teorema del binomio para $x=1$ $y=2$ y el resultado es el deseado de identidad. Esto es lógicamente impecable, pero contiene no de la idea de que era necesario para producirlo. Una ventaja de esto es que si tenemos la suerte de adivinar la derecha (x,y) podemos resolver el problema, incluso si no tiene una buena razón para venir para arriba con el par ordenado. La desventaja es que no aprendemos nada acerca de la solución de otros problemas cuando sólo vemos el desnudo de la solución.

Se aprende a pensar de esta manera, mediante la resolución de una gran cantidad de problemas sin necesidad de que claramente marcan caminos a la solución. Si usted está interesado en aprender más acerca de cómo pensar de esta manera usted debe leer "Cómo resolverlo", por George Polya.

Answer 2

Usted está casi allí - el valor de $x$ debe ser 1 en lugar de 2, por lo que conseguimos (esencialmente lo que ya ha escrito):

$$3^n = (1+2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} 2^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k.$$