Dejemos que $f: S\to S$ sea un homeomorfismo de una superficie compacta conexa (posiblemente con límite).
Teorema.
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Si $\chi(S)<0$ entonces el toro de mapeo $M=M_f$ de $f$ es una variedad de Seifert si y sólo si la clase de mapeo de $f$ es periódica, es decir, $f$ es isotópico a un homeomorfismo periódico.
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Si $\chi(S)\ge 0$ entonces $M$ es Seifert a menos que $S$ es el toro y los valores propios de la acción de $f$ en $H_1(S, {\mathbb R})$ no son raíces de la unidad.
Prueba. Demostraré sólo la primera parte, ya que la prueba es demasiado larga. Recordemos que la superficie $S$ admite Descomposición de Thurston-Nielsen con respecto a $f$ es decir, una colección finita (posiblemente vacía) de bucles simples $L_i\subset S$ que son disjuntos por pares, no isotópicos por pares y no isotópicos a la frontera de $S$ (si lo hay), tal que:
a. $f$ conserva el multibucle $L=\cup_i L_i$ . En particular, existe $N$ tal que $f^N$ conserva cada bucle $L_i$ y cada componente $S_j$ de $S\setminus L$ .
b. El homeomorfismo $f_j^N= f^N|S_j$ es homotópico a un homeomorfismo $g_j: S_j\to S_j$ que es periódica (por tomar mayores $N$ podemos suponer que tal $g_j$ es la identidad) o es pseudo-Anosov .
Un homeomorfismo $f$ se llama reducible si $L$ es no vacía.
Una prueba muy bonita de este teorema fundamental puede encontrarse, por ejemplo, en el libro de Casson y Bleiler "Homeomorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston".
Dado que una variedad es Seifert si y sólo si tiene una cubierta finita que es Seifert, podemos suponer que $S$ se orienta y $f=f^N$ (sustituyendo $f$ con $f^N$ equivale a pasar a una cobertura finita de $M$ ).
Ahora definimos tori $T_i$ que son toros de mapeo de las restricciones $f|L_i$ . Entonces, por construcción, el colector $M=M_f$ es la unión de submanifolds con límite $M_j=M_{f|S_j}$ que se encuentran a lo largo de la tori $T_i$ . Como se observó en la otra respuesta, si $f|S_j$ es pseudo-Anosov, entonces $M_j$ es hiperbólica y, por lo tanto, $M$ no puede ser un colector de Seifert en este caso. (Por ejemplo, esto puede verse en el hecho de que $\pi_1(M_j)$ tiene centro trivial, mientras que $\pi_1$ de una variedad de Seifert siempre tiene centro no trivial, después de pasar a una cubierta finita, a menos que esta cubierta sea la 3-esfera).
Queda por analizar el caso cuando cada $f|S_j$ es isotópico a la identidad. Sea $A_i=\eta(L_i)$ denotan una pequeña vecindad anular de $L_i$ en $S$ . Dejemos que $S_j'$ denotan el complemento en $S_j$ a todos los anillos $A_j$ con la que se encuentra. Mediante la isotopía $f$ Además, podemos suponer que $f_j=f|S_j'$ es la identidad mientras que la restricción $f|A_i$ es una iteración Giro de Dehn $D^{n_i}$ a lo largo del bucle $L_i$ . Entonces el toro de mapeo de $f_j$ es el producto $S_j'\times S^1$ . Si algunos $n_i$ es igual a cero, entonces $f|A_i=Id$ y podemos eliminar el bucle $L_i$ de $L$ sin cambiar la topología de $M$ y la periodicidad (o falta de ella) de $f$ .
Cada anillo $A_i$ tiene dos círculos límite que denotaré $A_i^+, A_i^-$ por lo tanto, cada colector $M_{f|A_i}\cong A_i\times S^1$ tiene dos toros límite $T_{i}^+, T_i^-$ que son los toros de mapeo de $f|A_i^\pm$ . Cada bucle $A_i^\pm$ es un bucle de contorno de un único componente de $$ \bigcup_j S_j' $$ que denotaré como $S_i^+$ y $S_i^-$ en consecuencia. (Tenga en cuenta que puede ocurrir que $S_i^+=S_i^-$ Por ejemplo, si $L$ es un único bucle que no separa $S$ .) En consecuencia, el toro (cartográfico) $T_{i}^\pm=M_{f|A_i^\pm}$ es una componente de la frontera de la colecta del producto $M_i^\pm=M_{f|S_i^\pm}$ el toro de mapeo del homeomorfismo $f$ restringido a $S_i^+$ o $S_i^-$ . El colector $M_i\pm$ tiene estructura de producto canónico (ya que $f$ se limita a la identidad en $S_i^\pm$ ). Por lo tanto, para cada toro $T_{i}^+$ obtenemos un sistema canónico de generadores del grupo de homología: "Bucle horizontal $a_{i}^+$ correspondiente al bucle $A_i^+\subset S$ y el bucle "vertical $b_i^+$ correspondiente al $S^1$ -factor de la descomposición $M_i^+=S_i^+\times S^1$ . Lo mismo ocurre con el toroide $T_{i}^-$ donde cambiamos todos los puntos positivos por negativos.
Ahora, considere estos bucles $a_i^\pm, b_i^\pm$ en el producto $M_{f|A_i}=T^2\times [0,1]$ . Los bucles $a_i^+, a_i^-$ son, por supuesto, isotópicas entre sí en esta variedad de productos, ya que corresponden a curvas isotópicas $A_i^+, A_i^-$ en la superficie $S$ . Denotaré por $[a_i]$ su clase de homología común en esta variedad de productos.
Sin embargo, este no es el caso de los bucles $b^+_i, b^-_i$ : De la definición del giro de Dehn obtenemos que $$ [b_i^-]= [b_i^+]\pm n_i [a_i] $$ el más o el menos depende del círculo límite de $A_i$ marcamos con $+$ y que con $-$ el número $n_i$ Aquí está el poder del giro de Dehn que utilizamos.
La conclusión es que cuando bajo el encolado $M_i^+$ y $M_i^-$ a lo largo de $A_i\times S^1$ las fibras de la fibración (Seifert) de $M_i^+$ no coinciden (hasta la isotopía) con las fibras de la fibración Seifert de $M_i^-$ .
Es importante señalar aquí que los colectores $M_i^\pm$ admiten aquí fibraciones únicas, hasta la isotopía, de Seifert, es decir, las que provienen de sus descomposiciones de productos $S_i^\pm \times S^1$ ya que cada componente de la superficie $S\setminus L$ tiene característica de Euler negativa. (Aquí utilizamos el hecho de que $S$ no es el toro: cortando el toro a lo largo de un bucle se obtiene el anillo $A$ y el producto $A\times S^1$ admite infinitas, hasta la isotopía, fibraciones del círculo). Este teorema de unicidad debería figurar en el libro de Hempel sobre los 3-manifolds y en el libro de Orlik sobre los manifiestos de Seifert. En particular, hasta la isotopía, podemos hablar de el Fibración Seifert del colector $M_i^\pm$ .
Las regiones del producto $A_i\times S^1$ por supuesto, admiten infinitas fibraciones de Seifert; para remediarlo, unimos cada $A_i\times S^1$ al colector de productos $S_i^+\times S^1$ . Como resultado, $M$ se obtiene pegando las variedades de productos $M_j\cong S_j\times S^1$ a lo largo de sus toros límite de tal manera que todos los mapas de encolado no preservan las fibras (hasta la isotopía) de las fibraciones del círculo de las variedades $M_j$ .
Ahora, podemos terminar la demostración de la parte 1 del teorema con el siguiente lema que, recuerdo haber visto en el libro de Jaco y Shalen "Seifert fibered spaces in 3-manifolds", Memoirs of Amer. Math. Soc. 220 (1979).
Lema. Supongamos que $M$ es una variedad tridimensional obtenida al pegar las variedades orientadas de Seifert $M_j$ a lo largo de sus toros de límites incompresibles, donde cada $M_j$ admite una fibración única de Seifert. Entonces $M$ es Seifert si y sólo si todos los mapas de encolado preservan (hasta la isotopía) las fibras de las fibraciones de Seifert.
Prueba. Omitiré la prueba de una de las direcciones de este lema ya que no es necesaria y asumiremos que uno de los mapas de encolado no preserva las fibras del círculo. Sea $T\subset M$ denotan el toro incompresible correspondiente a este encolado. Supongamos que $M$ está fibrado por Seifert; observando su grupo fundamental, está claro que la base de este fibrado tiene que ser de tipo hiperbólico (es decir, es un orbifold hiperbólico). Es un hecho estándar de la teoría de las variedades de Seifert (estoy seguro de que está en Jaco y Shalen) que todo toro incompresible en tal fibración es "vertical", es decir, isotópico a un toro foliado por fibras de Seifert. Para ver el lado algebraico de esta afirmación, consideremos la breve secuencia exacta de grupos fundamentales inducidos por la fibración de Seifert: $$ 1\to {\mathbb Z}\to \pi_1(M)\to B=\pi_1(O)\to 1, $$ donde $O$ es el orbifolio base del fibrado y el grupo fundamental de $O$ se entiende en el sentido de orbifold. Dado que el toroide $T$ es incompresible, su grupo fundamental da lugar a un subgrupo $Z^2$ de $\pi_1(M)$ . La proyección de este grupo a $B$ tiene que ser abeliana, y, por la hipótesis de hiperbolicidad de $O$ , infinito cíclico. Por lo tanto, la intersección de $Z^2$ con el subgrupo normal ${\mathbb Z}$ de $\pi_1(M)$ es un factor libre (abeliano) de $Z^2$ . En particular, $T$ admite una foliación por círculos donde cada fibra es homotópica a la fibra genérica de la fibración de Seifert de $M$ . Trabajando más, se promueve esto a una isotopía de $T^2$ .
En lugar de isotopizar el toro podemos isotopizar la propia fibración de Seifert. Por lo tanto, la división $M$ a lo largo de $T$ resulta en una o dos variedades de Seifert y el mapa de encolado preserva las fibraciones de Seifert. Continuando inductivamente con respecto a todos los toros de frontera de las variedades $M_i$ obtenemos que cada $M_i$ admite una fibración de Seifert y los mapas de encolado preservan estas fibraciones. Dado que la fibración de Seifert de cada $M_i$ era única (hasta la isotopía), hemos terminado. QED
