Estoy de ser introducido a la Lyapunov funciones con el fin de determinar la estabilidad de un sistema dado. Sé que la búsqueda de una función de Lyapunov no es fácil, así que me gustaría pedir truco o sugerencia con el fin de encontrar una función de Lyapunov para $$ \left\{\begin{array}{l}x'=-4y+x^2,\\y'=4x+y^2\end{array}\right. $$ en $(0,0)$. He probado combinaciones de $x^{2n}$ $y^{2m} $ y también productos de $x$ $y$ pero no tengo nada claro. También, he buscado en la fase de la parcela para el sistema y es claro que $(0,0)$ es un punto estable (no asintóticamente estable). Gracias de antemano.
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PhilHoy
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No queda muy claro por qué usted pone una recompensa por esta pregunta, ya que @Evgeny respondió de la mejor manera posible. Sin embargo, si usted está buscando para una función de Lyapunov, aquí está (hasta una constante aditiva): $$ L(x,y)=\frac{2^{2/3} \left(1-\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{\sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}\right) \left(\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{2 \sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}+1\right) \left(\left(1-\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{\sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}\right) \log \left(2^{2/3} \left(1-\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{\sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}\right)\right)+\left(\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{\sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}-1\right) \log \left(2\ 2^{2/3} \left(\frac{x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{2 \sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}+1\right)\right)-3\right)}{9 \left(-\frac{\left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)^3}{2 \left(x^2-4 y\right)^3}+\frac{3 x (x+4) \left(x^2 a 12 x+8 y+48\right)}{2 \sqrt[3]{x^3 (x+4)^3} \left(x^2-4 y\right)}-1\right)}-\frac{x (x+4) \left(4 \log \left(x^2-4 x+16\right)+x\right)}{18 \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x^3 (x+4)^3}} $$
