1 negativo a la potencia de la infinidad

Question

¿Alguien me puede explicar lo que es el resultado de $$\lim_{n\rightarrow\infty} (-1)^n$ $ y la razón?

Answer 1

Si una secuencia converge todas sus subsecuencias convergen al mismo límite.

Tenga en cuenta que $(-1)^{2n}$ es un subsequence que converge a $1$ y $(-1)^{2n + 1}$ un subsequence que converge a $-1$. Contradicción.

Answer 2

Esto no existe. Si usted tiene una secuencia $\{x_n\}$, entonces si $x_n \rightarrow l$, para cualquier intervalo abierto $I$ con $l\in I$, $x_n\in I$ para todos, pero un número finito de $n$. De forma intuitiva, cualquier intervalo abierto que contiene el límite debe "finalmente absorber" la secuencia.

La secuencia no tiene ningún tipo de comportamiento. Si se toma el intervalo de $(.9, 1.1)$, nos hve $x_n\not\in I$ si $n$ es impar. Asimismo, tomando un pequeño intervalo alrededor de a $-1$ resultados en $x_n$, no se en que intervalo de si $n$ es incluso. No hay ningún punto de los que puede escoger para finalmente absorber la secuencia, y por lo tanto no hay límite.

Answer 3

Un límite de una secuencia existe cuando hay un número $L$ tal que para cada a $\epsilon>0$ hay algo de $N\in\mathbb N$ tal que para cada a $n>N$ tenemos $|a_n-L|<\epsilon$.

El límite es infinito si para cada a $M>0$ hay algo de $N\in\mathbb N$ tal que para todos los $n>N$ tenemos $a_n>M$.

En este caso,$a_n=(-1)^n$, que toma dos valores: $1,-1$.

No tenemos ni siquiera necesitan de nuestra contraejemplo $\epsilon$ a ser pequeño, que acaba de establecer $\epsilon=1$. A continuación, para cada número $L$ tenemos:

Si $|1-L|<1$$|-1-L|\ge 1$, y si $|-1-L|<1$$|1-L|\ge 1$.

Por lo tanto, para cada $N\in\mathbb N$ $a_{N+1}$ o $a_{N+2}$ es de al menos distancia de $1$$L$, para todas las $L$.

El límite no puede ser infinito, por razones obvias.

Así pues, nos queda sólo con la posibilidad de que el límite no existe.

Answer 4

Pensamiento de un humilde ingeniero: piensa en qué $(-1)^t$ $t\in\mathbb{R}$ sería si dejas $t\rightarrow\infty$. Cuando se sustituya $(-1)=\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi}$ ves que la expresión es realmente sólo un fasor complejo, que se mantiene girando alrededor del origen. Así, el límite es indefinido. Expertos en matemáticas, por favor no me maten :)

Answer 5

El límite es indefinido. Desde (-1) ^(2n+1) =-1 y (-1) ^(2n+1) = 1, elevando a la n donde enfoques infinito significa que no se puede definir si el resultado es + 1 o -1.