Inversa de matriz simétrica y matriz Diagonal si Plaza matriz ' s inversa es conocido

Question

Sea $A$ $n \times n$ simétrico matriz de fila $n$ % inverso conocido $A^{-1}$. Que $D$ sea una matriz diagonal con las mismas dimensiones y rango. ¿Cuál es la forma más rápida para calcular $(A+D)^{-1}$? Asumir todo diagonal elementos de $A+D$ son positivos y que $A+D$ es invertible.

Answer 1

Desde $(A+D)^{-1} = (I+ A^{-1} D)^{-1} A^{-1}$, e $A^{-1}$ es conocido, sólo tenemos que averiguar cómo calcular el $B ^{-1}$ donde $B$ es (conocida) de la matriz $1+A^{-1} D$.

Siguiente Greg Martin observación, considere primero el caso en que el único distinto de cero de entrada de $D$ está en la esquina superior izquierda. En este caso, todas las columnas de a $A^{-1} D$ son cero excepto en la primera, por lo $B$ tiene la forma
$$ B = \begin{pmatrix} v_1 & 0 & 0 &\cdots & 0\\ v_2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ v_3 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ v_n & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 & 0 & 0 &\cdots & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\cdots & 0\\ v_2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ v_3 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ v_n & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$$ Invertibility de $B$ es equivalente a la condición de $v_1 \neq 0$. En este caso, ambos factores anteriores son invertible. La inversa de la diagonal factor de la izquierda es trivial calcular, y la inversa de la derecha factor pasa a ser $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\cdots & 0\\ -v_2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -v_3 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ -v_n & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$$ así que la inversa de a $B$ es fácil de recuperar. A saber: $A$B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{v_1} & 0 & 0 &\cdots & 0\\ -\frac{1}{v_2} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -\frac{1}{v_3} & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ -\frac{1}{v_n} & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}.$$