Derivación de la ecuación de Schrodinger para un sistema con posición dependiente masa efectiva

Question

Cómo derivar la ecuación de Schrödinger para un sistema dependiente de la posición efectiva de la misa? Por ejemplo, me he encontrado con esta ecuación cuando estudié semiconductor hetero-estructuras. Todos los libros que me he referido tomar la ecuación como el punto de partida sin, al menos da una idea de la forma de la ecuación de Schrödinger en el que se lee como

$$\big[-\frac{\hbar^2}{2}\nabla \frac{1}{m^*}\nabla + U \big]\Psi ~=~ E \Psi. $$

Siento que tiene algo que ver con la conservación de la probabilidad actual y debe utilizar la ecuación de continuidad, pero no estoy seguro.

Answer 1

Para la derivación del PDM ecuación de Schrödinger ver K. Young, Phys. Apo. B 39, 13434-13441 (1989) "Dependen de la posición de efectivo de la masa para que no homogénea de los semiconductores". Resumen.:Un enfoque sistemático que se adopte para extraer un efectivo de baja energía de Hamilton para cristales con una lenta variación de la falta de homogeneidad, resolver diversas controversias. Está demostrado que la masa efectiva $m_R$ es, en general, dependiente de la posición y entra en la energía cinética del operador como $ -\nabla({m_R-1})\nabla/2$. La ventaja de usar una base establecida de que exactamente diagonalizes el Hamiltoniano en el homogéneos límite se pone de relieve.

Answer 2

Un Hamiltoniano debe ser auto-adjunto. La ecuación también debe reducir a la conocida ecuación en el caso de una masa constante. Ahora la forma de que el operador ya está determinado como el único simples del mismo-adjoint generalización de la posición independiente de la ecuación de Schroedinger para el dependiente de la posición de los casos.

Si usted se especializa en 1 dimensión, se obtiene el Sturm-Liouville ecuación. En
http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm-Liouville_theory
usted puede encontrar una discusión de su auto-adjointness. Todo genaralizes a la PDE caso.

Answer 3

La derivación es sencillo si se considera el origen de la masa efectiva es una lenta variación de salto de parámetro en un tight-binding (entramado de partículas) del modelo. Aquí tienes una partícula en una plaza de celosía con una probabilidad de amplitud para ir a la izquierda, derecha, arriba y abajo, adelante, atrás. El principal requisito físico es Hermiticity, que en 1d puede ser utilizado (con una fase de elección de la función de onda) para activar la fase en todas partes real.

Una vez hecho esto, hay una verdadera amplitud en el sitio n a subirse a un cuadrado a la derecha de r(n) y una amplitud subir a un cuadrado a la izquierda, que por hermiticity y la realidad, debe ser r(n-1)--- que debe ser el conjugado complejo de la amplitud subir a la derecha de la posición n-1. De modo que la amplitud de la ecuación es

$$ i{dC\over dt} = r(n-1) C_{n-1} - (r(n-1)+r(n))C_n + r(n) C_{n+1} $$

Esto es, si r es lentamente variable, equivalente a la ecuación de continuidad encontrado por Taylor ampliar y mantener sólo los más relevantes en términos de:

$$ i {d\psi \over dt} = {1\over 2} {\partial \over \partial x} (r(x) {\partial\over \partial x} \psi(x)) $$

Como Feynman notado, pero nunca se publicó (Dyson publicado este comentario a título póstumo, en un artículo en el American Journal of Physics títulos algo así como "de Feynman de la derivación de las ecuaciones de Maxwell a partir de la ecuación de Schrödinger"), Dirac de la fase del truco no funciona en las dimensiones superiores, porque no se puede arreglar todas las fases. A continuación, los conmutadores de tener un campo magnético, además, y para que sea coherente, el campo magnético tiene que terminan obedeciendo Maxwell de la ecuación, ya que la rotación de fase da un U(1) la simetría. Este no es un verdadero derivación de Maxwell de la física de la mecánica cuántica, es solo una forma de mostrar la necesidad de la extra asunción de CP invariancia a hacer el salto de hamilton real (lo cual es cierto).

A continuación, con el extra de la asunción, a la que acaba de llegar

$$ i {d\psi\over dt} = {1\over 2} \nabla \cdot (t(x) \nabla \psi) + V(x) \psi $$

Donde he añadido de nuevo el potencial. Este es el continuum de límite de una estrecha unión con el modelo espacialmente lentamente variar de salto, o la inversa de la masa efectiva.

Answer 4

Además de Claudio y Ron Maimón respuestas, me gustaría hacer tres comentarios:

1. Clásicamente, el Hamiltoniano de la función de la masa efectiva aproximación lee $$\tag{1} H({\bf r}, {\bf p})~:=~\frac{{\bf p}^2}{2m^*({\bf r})}+V({\bf r}).$$

2. Mecánica cuántica, cuando uno se cuantiza el modelo clásico (1), se debe escoger un auto-consistente opción para el operador Hamiltoniano $\hat{H}$. Es natural para sustituir a la clásica de la variable ${\bf r}$ ${\bf p}$ en el Hamiltoniano (1) con los operadores $$\tag{2}\hat{\bf r}~=~{\bf r} \qquad\text{and}\qquad \hat{\bf p}~=~\frac{\hbar}{i}\nabla $$ (en la representación de Schrödinger). Pero que el operador de ordenar la prescripción se debe elegir? Una elección natural, ya que (bajo las condiciones de contorno adecuadas) hace que el Hamiltoniano Hermitian,es $$\tag{3} \hat{H}~:=~\hat{\bf p}\cdot \frac{1}{2m^*(\hat{\bf r})}\hat{\bf p}+V(\hat{\bf r})~=~-\frac{\hbar^2}{2}\nabla\cdot \frac{1}{m^*({\bf r})}\nabla+V({\bf r}).$$

3. Por último, vamos a mencionar algo relacionado con/generalizada Hermitian operador Hamiltoniano $$\tag{4} \hat{H}~=~-\frac{\hbar^2}{2}\Delta_g +V({\bf r}), $$ lo que puede dar otra utilidad (anisotrópico) a partir del modelo de la masa. Aquí $\Delta_g$ es la de Laplace-Beltrami operador de una de Riemann $3\times 3$ métrica $g_{ij}=g_{ij}({\bf r})$, lo que, a grandes rasgos, puede ser visto como una (anisotrópico) tensor de masa efectiva.

Answer 5

Yo estaría muy sorprendido si se las arregló para encontrar una estricta matemática de la derivación de la ecuación de Schrödinger en cualquier lugar – al menos no lo he encontrado hasta ahora. Sin embargo, valdría la pena señalar que el 'general' tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger, la cual se toma a menudo como un axioma de la mecánica cuántica, es generalmente

$$i \hbar \partial_t \Psi = \hat H \Psi \quad .$$

En el caso de una estacionaria de Hamilton (usualmente $U(x,t) \equiv U(x)$), esta ecuación se separa y se obtiene la estacionaria de la ecuación de Schrödinger, es decir,

$$ \hat H \Psi = E \Psi \quad ,$$

es decir, una ecuación de valores propios para el Hamiltoniano.

Dada esta ecuación, es relativamente sencillo para trabajar la forma del Hamiltoniano (en su caso, $-\frac{\hbar^2}{2} \nabla \frac{1}{m^\star} \nabla + U$) y conéctelo a la ecuación. La forma exacta de la Hamiltoniana es generalmente de conjeturas basadas en la observación y en las analogías con el de la mecánica clásica. En general, hemos

$$ \hat H = \hat T + \hat U $$

donde $\hat T$ $\hat U$ denotar los operadores de energía potencial y cinética, correspondientemente.

Cabe destacar que se puede derivar la ecuación de continuidad (que es idéntica a la probabilidad de conservación en este caso) a partir de la ecuación de Schrödinger al añadir el conjugado complejo de la ecuación de Schrödinger para sí mismo.