Continuidad de funciones, secuencias y subsecuencias

Question

Han pasado algunos años desde que estudié punto-establecer la topología, y estoy un poco oxidado en los fundamentos. Agradecería ayuda con la siguiente pregunta.

Supongamos $f:X\rightarrow Y$ es un mapa entre dos espacios topológicos, y yo sé que para cualquier secuencia $x_n\rightarrow x$$X$, hay una larga $x_{n_k}$ tal que $f(x_{n_k})\rightarrow f(x)$. De lo anterior se sigue que el $x_n\rightarrow x\Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(x)$? En el caso de $X$ es la primera contables, la primera condición es suficiente para deducir que el $f$ es continua (creo), y para la segunda condición que se debe mantener. Sospecho que esto no es cierto para general $X$, pero no puedo venir para arriba con un contraejemplo.

Gracias.

Answer 1

Si % no convergen $x_n\to x$y $f(x_n)$ $f(x)$, tomar $V$ un barrio de $f(x)$ tal que infinitamente muchos $k$, $f(x_k)\notin V$. Podemos escribir esto infinitamente muchos como un subsequence $x_{n_k}$. Tenemos $x_{n_k}\to x$, pero no podemos extraer un subsequence de $\{f(x_{n_k})\}$ que es convergente a $f(x)$.