Formas de encontrar las raíces irracionales de un polinomio de grado n

Question

Estoy tratando de escribir un programa para encontrar las raíces de un polinomio dado de grado N, con la forma $$A_{0}X^{N}+A_{1}X^{N-1}+A_{2}X^{N-2}+A_{3}X^{N-3}+...+A_{N}$$

Sé que si hay raíces racionales en absoluto, puedo encontrar una lista exhaustiva con el teorema de la raíz racional, y luego factorizarlas usando la división sintética para encontrar todas y cada una de las raíces racionales. También sé que estoy bien si puedo factorizar hasta el grado dos, pero me gustaría saber cómo encontrar las raíces irracionales de un polinomio de grado n sin vías numéricas como el método de Newton, para poder visualizar el polinomio así.

$$(x+2)(x-6)(x\pm\sqrt{8})...$$

Se agradece cualquier ayuda que se pueda recibir.

Answer 1

No se puede hacer. Existen fórmulas para las raíces de un cuadrático, cúbico o cuático en términos de radicales, pero no (en general) para las raíces de un polinomio de grado $5$ o superior. Por ejemplo, las raíces de $x^5 + 2 x + 1$ no se puede escribir en términos de radicales. Véase, por ejemplo Teorema de Abel-Ruffini

Answer 2

Un algoritmo eficiente para factorizar un polinomio en polinomios irreducibles se da en este artículo . El algoritmo de reducción de la base reticular que desarrollaron para este fin es el famoso Algoritmo LLL que tiene muchas aplicaciones además de su uso en problemas de factorización de polinomios.