Ejemplos de teoría de homotopía de esquemas

Question

¿Es posible dar un ejemplo de (o explicar) cómo la teoría de homotopía de esquemas de Voevodsky et al. computa grupos de Chow superiores?

Answer 1

Para simplificar las cosas, supongamos que trabajamos sobre un campo perfecto. La parte más sencilla de la cohomología motivacional que podemos obtener es el grupo de Picard (es decir, el grupo de Chow en grado 1). Esto funciona esencialmente como en topología: en la categoría (modelo) de las láminas simpliciales de Nisnevich (sobre esquemas k suaves), el espacio clasificador del grupo multiplicativo $\mathbb G_m=\mathbb A^1-\{0\}$ tiene el $\mathbb A^1$ -homotopía del espacio proyectivo de dimensión infinita. Además, como el grupo de Picard es invariante de homotopía para los esquemas regulares (incluso es suficiente con que sean seminormales), el hecho de que $H^1(X,\mathbb G_m)=\text{Pic}(X)$ se lee como $[X,B\mathbb G_m]=\text{Pic}(X)=CH^1(X)$ , donde $[?,?]$ representa el $\text{Hom}$ en el $\mathbb A^1$ -categoría de homotopía de $k$ -que se denominan $H(k)$ .

En general, denotamos por $K(\mathbb Z(n),2n)$ el $n$ -a espacio motivacional de Eilenberg-MacLane, es decir, el objeto de $H(k)$ que representa el $n$ -grupo Chow en $H(k)$ para cualquier tipo de superficie lisa $k$ -sistema $X$ , uno tiene

$$[X,\Omega^i K(\mathbb Z(n),2n)]=H^{2n-i}(X,\mathbb Z(n))$$

(donde $\Omega^i$ representa el $i$ -functor de espacio de bucle). Para $i=0$ Sólo tenemos los grupos habituales de Chow:

$$H^{2n}(X, \mathbb Z (n)))\simeq CH^n(X) .$$

Luego, hay varios modelos para $K(\mathbb Z(n),2n)$ Uno de los más pequeños se construye de la siguiente manera. Lo que he explicado anteriormente es que $K(\mathbb Z(1),2)$ es el espacio proyectivo infinito. $K(\mathbb Z(0),0)$ es simplemente la gavilla constante $\mathbb Z$ . Para una mayor $n$ Aquí hay una construcción (esta es de Voevodsky).

Dada una $k$ -sistema $X$ , denótese por $L(X)$ el presheaf con transferencias asociado a X, es decir, el presheaf de grupos abelianos cuyas secciones sobre un suave $k$ -sistema $V$ son las correspondencias finitas de $V$ a $X$ (es decir, las combinaciones lineales finitas de ciclos $\sum n_iZ_i$ en $V \times X$ tal que $Z_i$ es finito y suryente sobre $V$ ). Se trata de un presheaf, donde los pullbacks se definen utilizando los pullbacks de los ciclos (la condición de que el $Z_i$ son finitos y suryentes sobre un esquema suave (por tanto, normal) $V$ hace que esto esté bien definido sin tener que trabajar hasta las equivalencias racionales, y como sólo consideramos los retrocesos a lo largo de los mapas $U \to V$ con $U$ y $V$ suave (por tanto, regular) garantiza que las multiplicidades que aparecerán de estos pullbacks serán siempre enteras). La preforma $L(X)$ es una gavilla para la topología de Nisnevich. Esta construcción es funtorial en $X$ (Sólo necesitaré esta funtorialidad para las inmersiones cerradas).

Dejemos que $X$ (resp. $Y$ ) sea el producto cartesiano de $n$ (resp. $n-1$ ) copias de la línea proyectiva. El punto en el infinito da una familia de $n$ mapas $u_i : Y \to X$ . Entonces, un modelo de $K(\mathbb Z(n),2n)$ en $H(k)$ es la gavilla de conjuntos obtenida como cociente (en la categoría de gavillas de Nisnech de grupos abelianos) de $L(X)$ por la subserie generada por las imágenes de los mapas $L(u_i):L(Y)\to L(X)$ .

Si quieres una definición más conceptual, también está la dirección del cobordismo algebraico (pero para esto, necesitas entender la homotopía estable de $\mathbb P^1$ -espectro, pero tal vez sea suficiente al principio para pensar en $\mathbb P^1$ -como las teorías de cohomología permitidas en la teoría de la homotopía de los esquemas): la idea es que existe un cobordismo algebraico, que está representado por un $\mathbb P^1$ -espectro $MGL$ (el análogo del espectro $MU$ que representa el cobordismo complejo en topología algebraica). La idea es que $MGL$ es la teoría de cohomología orientada universal (para abreviar, esto significa que, si una teoría de cohomología $E$ satisface la fórmula del haz proyectivo, entonces la elección de una orientación, es decir, de una clase generadora en el segundo grupo de cohomología de $\mathbb P^1$ con coeficientes en $E(1)$ es lo mismo que un mapa de espectros de anillos $MGL \to E$ . La idea es que, como en la topología algebraica, las leyes de grupos formales clasifican las teorías de cohomología orientada ( $MGL$ correspondiente a la ley formal inicial del grupo). La teoría de cohomología que corresponde a la ley de grupo formal multiplicativa es $KGL$ El $\mathbb P^1$ -que representa la teoría K algebraica, mientras que la teoría de cohomología correspondiente a la ley formal aditiva del grupo es la cohomología motivacional (esta última caracterización ha sido anunciada por F. Morel y M. Hopkins si $k$ es de característica cero, pero aún no se ha publicado, y se sabe que para cualquier campo $k$ si trabajamos con coeficientes racionales (este es un resultado de Spitzweck, Nauman, Ostvaer)).

Answer 2

La cohomología motivacional computa grupos de Chow. Y, la cohomología motivacional es representable en la categoría A^1. Más concretamente, CH^p(X)=H^2p(X,Z(p)). Los grupos de cohomología de la derecha son representables por los espacios de "Eilenberg-Mac Lane" en la teoría de la homotopía de A^1. Aquí, por representable, quiero decir que los grupos de cohomología coinciden con clases de homotopía de mapas a algún espacio.

Algunos detalles más: Marc Levine tiene un documento llamado La filtración homotópica de Coniveau ; puede encontrarlo aquí . El título se refiere a una torre que es un análogo de la resolución de Gersten en la teoría K algebraica. Las capas de la filtración homotópica de Coniveau para el espacio que representa la teoría K dan aparentemente el espectro motivacional de Eilenberg-Mac Lane.

Déjame contarte los detalles. Todo esto es de la introducción del documento de Levine. Sea E un espectro (en la categoría motivacional estable). Para tal espectro E, Levine construye una torre E^(p)->E^(p-1)->...->E. E^(p)(X) es el límite de los espectros con soportes E^W(XxA^n) donde W es cerrado de codimensión al menos p en XxA^n. Entonces, el estrato E^(p/p+1) es la cofibra en el nivel p. Cuando se aplica al espectro que representa la teoría K, el corte K^(p/p+1)(X) corresponde al grupo de ciclos superiores de Bloch z^p(X). Y, es bien sabido que esto computa grupos de Chow (superiores) y cohomología motivacional.

Answer 3

Si X no es suave, entonces es posible que los grupos de Chow y la teoría de cohomología motivacional representada por A^1 no estén de acuerdo.

Por ejemplo, si tomamos X como dos copias de A^1 identificadas en un punto, entonces CH^0(X) tiene rango 2, pero la gavilla representada por X en la categoría A^1 es contractible, por lo que H^0(X,Z(0)) tiene rango 1.

Para ver este último punto, consideramos X como el colímite de un diagrama A^1 <- * -> A^1. Como los mapas de este diagrama son monomorfismos de esquemas, son cofibraciones. El colímite del diagrama es por tanto equivalente al colímite de homotopía, que es invariante bajo equivalencias puntuales de diagramas. Como A^1 es contractible, nos queda el colímite de * <- * -> *, un punto.

Moralmente, A^1 es contractible, por lo que podemos reducir los A^1 sin cambiar el tipo de homotopía de A^1.