Integral con el valor absoluto de la derivada

Question

Estoy tratando de calcular esta integral $\int_0^1 t |p'(t)|dt$ utilizando este valor $\int_0^1 |p(t)|dt$; Aquí $p$ es un polinomio real.

Esto significa, estoy en busca de una $M>0$ tal que % $\int_0^1 |t p'(t)|dt \le M \cdot \int_0^1 |p(t)|dt$

He estado pensando acerca de la integración por partes pero no sé cómo hacerlo con un valor absoluto involucrado.

¿Me podrias ayudar con eso?

Answer 1

La desigualdad no es cierto. Que $p(t)=t^n$. Entonces $$\int_0^1t\, | p'(t) | \, dt = n\int_0 ^ 1t ^ n\, dt = \frac {n} {n+1} $ y $ \int_0^1|p (t) | \, dt = \int_0^1t^n\, dt = \frac {1} {n+1}.$$